অনেকের হয়ত মনে আছে নিচের নকশাটা। গণিতের জগতের চিন্তা নয়, স্বাভাবিক ভাবেই চিন্তা করুন তো, কোথায় দেখেছেন এটা?

কয়েক বছর আগে, যখন হাল ফ্যাশনের জামাকাপড় বাজারে আসতে শুরু করে তখনই এই ডিজাইনটার দেখা মেলে। শুধু জামাকাপড়ে নয়, দেয়াল ঘড়ি, টেবিল ঘড়ি এরকম আরো নানান জিনিসে এটার দেখা মেলে। এছাড়াও অন্যান্য অনেক ডিজাইনের মধ্যে যেগুলো বহুল প্রচলিত ছিল সেগুলোর কয়েকটা দিচ্ছি। চেনার চেষ্টা করলেই পারবেন।

রঙটা না হয় ভিন্ন হল কিন্তু ডিজাইন গুলো কিন্তু এরকমই ছিল।
এই সব ছবিগুলো কিসের? এগুলো ফ্র্যাক্টালের সাথে জড়িত সেট। প্রথমটাকে বলা হয় ম্যান্ডেলব্রট সেট। সহজ জিনিস দিয়ে শুরু করি কেমন? বলুন তো ম্যান্ডেলব্রট সেট এর দিকে প্রথমবারের মতন তাকালে কিসের কথা মনে পরে? স্বাভাবিক ভাবে কোন আকৃতির কথা মনে পড়ে? প্রথমেই চোখে পড়ে অসংখ্য বৃত্ত [infinte number of small circles], তারপর চোখে পড়ে প্রধান শাখার মধ্যে বিশাল একটা কারডাইওয়াইড [Cardioide]। প্রতিবারই একটা বিশেষ জায়গায় যেয়ে এই নকশাটার শাখা প্রশাখা গজায় এবং আবার একই নকশা তৈরি হয়।

একটু দেখি এটা কিভাবে তৈরি হয়…
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f4/Animation_of_the_growth_of_the_Mandelbrot_set_as_you_iterate_towards_infinity.gif
একটা Recursive Polynomial দিয়ে এই চিত্রের আকার তৈরি হয়। অনেকেই হয়ত মনে করছেন এই চিত্র দিয়ে অঙ্কের কি হয়? অঙ্ক মানে তো সংখ্যা, এখানে তো দেখি না। আসছি এবার আসল কথায়, এই চিত্রের ভিতরের জিনিস দেখতে চান? তবে দেখুন…

ওই যে তারকা চিহ্ন গুলো দেখছেন, ওগুলো আসলে সংখ্যা, গ্রাফ পেপারে আঁকলে এরকম একটা প্লট পাওয়া যাবে। এটা তে দেখতে পাচ্ছি একটা একটা করে বিন্দু প্লট করা হয়েছে। এটাকে বলা হয় Discreet Plot বা Point Plot. আর একটু ঘোলা জলটা পরিষ্কার করি কেমন? দেখি আসলে গ্রাফ পেপারে এটা কেমন দেখায়।

এখন তো বুঝেই গেছেন। আগেই বোঝা উচিৎ ছিল। রিয়েল নাম্বার দিয়ে এতো সুন্দর দুনিয়া তৈরি হয় না। রিয়েল নাম্বার তো কমপ্লেক্স নাম্বারের একটা সাবসেট। কমপ্লেক্স নাম্বার এর সেটটা অনেক বড়। যাদের বুঝতে কষ্ট হচ্ছে তাঁদের বলে দেই, প্রতিটা রিয়েল নাম্বারই একটা কমপ্লেক্স নাম্বার। যেকোনো রিয়েল নাম্বারকে a+ib এই ফরম্যাটে লেখা যায়। এবার একটু অঙ্কের দিকটা দেখি।
ম্যান্ডেলব্রট সেটের প্রতিটা সংখ্যাকে একটা Complex Quadratic Polynomial দিয়ে দেখানো যায়।
z_(n+1)=z_n^2+c
এখানে c একটা কমপ্লেক্স কন্সটান্ট। দেখেই বোঝা যাচ্ছে এটা দিয়ে একটা সিকুয়েন্স তৈরি হয়। এই সিকুয়েন্সের সংখ্যাগুলোকে প্লট করেই এটা পাওয়া যায়। যখন এগুলো কে আঁকা হয় তখন সংখ্যাগুলোকে না বসিয়ে অনেক বিন্দু বসিয়ে এটা বানানো হয়।
জায়গাটা পুরো ভরা কেন? ভরা তো হবেই, সেটা তো এক্স অক্ষের সব সংখ্যা নিয়ে তৈরি হয়, আর এটা তো সাধারণ কিছু না যে একটা সরল রেখা বা বৃত্তের মতন সহজে আঁকা যাবে, এটা আকার সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি হচ্ছে যতগুলো বিন্দু পারা যায় বসিয়ে একটা মোটামুটি বৃত্তাকার আকার এঁকে ফেলা, তারপর ভেতরে রঙ করে দেয়া। কারণ ওই বৃত্তের বাইরে কোন বিন্দু পড়বে না। ইচ্ছা হলে করে দেখতে পারেন।
এবার আসি জুলিয়া সেট এ। জুলিয়া শুধু এই সমীকরণের ধারণাটাই দিয়ে গিয়েছিলেন। উনি এই প্লটটা করতে পারেন নি। আইবিএম এ কাজ করার সময় ম্যান্ডেলব্রট এমন একটা সুবিধা পান যেটা জুলিয়া কোনদিনও পাননি। তিনি একটা কম্পিউটার ব্যবহার করার সুযোগ পান। খুব কম মানুষই তখনকার দিনে এইরকম সুবিধা পেত। সালটা ছিল ৮০এর দশকে। সেই কম্পিউটার দিয়ে খুব তাড়াতাড়ি হিসাব করার ফলে তিনি নাম্বারগুলো পেয়ে যান। যখন গ্রাফ পেপারে এগুলোকে প্লট করা হয় তখনি চাক্ষুষ ধারণা পাওয়া যায়।

এই গ্রাফটাও কিন্তু তিনি কম্পিউটারের সাহায্যে করেছিলেন।
দুটোই যদি ফ্র্যাক্টালের সেট হয়, এদের মধ্যে তফাত কোথায়?
z_(n+1)=z_n^2+c
এতক্ষণ ম্যান্ডেলব্রটের গুন গাইলাম না? অথচ জুলিয়াও কিন্তু সমান সম্মানের দাবিদার। জুলিয়ার সেট এবং ফর্মুলাটা সাধারণত সব কেস কে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। আমরা যদি z_0=0 ধরে c এর মানের উপরে নির্ভর করে হিসাব করি তাহলে আমরা ম্যান্ডেলব্রট সেটটা পাব। ম্যান্ডেলব্রট সেটা তাহলে এই পুরো সেটের একটা দ্বিমাত্রিক সাবসেট। বুঝতে কষ্ট হচ্ছে কি? কেন দ্বিমাত্রিক? গ্রাফ তো দ্বিমাত্রিকই আঁকা হয়। আমরা ত্রিমাত্রিক গ্রাফ আঁকতে শিখি নি।
একটা কমপ্লেক্স নাম্বার এর k জন্যে জুলিয়া সেটটা হচ্ছে একটা দ্বিমাত্রিক সেট যেখানে সবসময় c=0 এবং z_(n+1) এর মান z_০ এর উপরে নির্ভর করে।
আজকের পোস্টটা অনেক লম্বা হয়ে গেছে। আরও অনেক জিনিস শেখার আছে আমাদের। কারও ইচ্ছা হলে এখানে কিছু রঙ বেরঙের শাড়ির ডিজাইন আছে। ঘুরে দেখে আসতে পারেন, এগুলো নট ফর সেল।
http://www.alunw.freeuk.com/mandelbrotroom.html

আমি আবার আসিব ফিরে, এই বর্গমূলের [Square Root] ভেতরে। ধন্যবাদ।

Author: Awnon Bhowmik

I know very little to be proud about it. Mathematics enthusiast, possess a lust for mathematical/computational knowledge