Group Theory এর খুঁটিনাটি

বিশ্ববিদ্যালয়ে উঠার পরেই দেখা যায় ছেলেমেয়েদের দুর্বলতা বীজগণিতে। অথচ এই বীজগণিতেই সারা জীবন সবচেয়ে বেশি নাম্বার পায় তারা। আমার অবস্থা তো তারচেয়েও খারাপ। পাটিগণিতে পেয়েছিলাম সবচেয়ে বেশি, তাহলে আর বীজগণিতের কি বুঝব। তবে অনেকদিন ধরে বীজগণিত করতে করতে টের পাচ্ছিলাম শুধু x, y, z  ও সমীকরণের মান নির্ণয় করার মাঝে সীমাবদ্ধ নয় এই বিষয়। Discrete Mathematics এর সাথে Linear Algebra এবং Abstract Algebra জুড়ে দিলে কোন ডিগ্রি ছাড়াই মানুষ অনেক ভাল মানের Electrical Engineer হয়ে যাবে। তবে সে পড়াটা একটু বেশি কঠিন। আগে প্রাথমিক জ্ঞানের ভিত্তি শক্ত হতে হবে। আমরা অনেকেই চিন্তা করি আমাদের বাধা ধরা উপপাদ্য পড়ানো হচ্ছে। কারণটা খুবই স্বাভাবিক। ব্যাকরণ না জানলে যেমন ভাষাশিক্ষা পূর্ণ হয় না, তেমনই এই সহজ জিনিসগুলো না জানলে না বুঝলে কঠিন জিনিসগুলো বুঝা একেবারেই অসম্ভব হয়ে পরে।

প্রথমে শেখানো হয় Linear Algebra। এটা মোটামুটিভাবে অনেকে বুঝলেও Abstract Algebra তে আশা করে ক্লাস করতে যেয়ে কিছুই বুঝতে পারে না। প্রথমেই যে জিনিসটা পেছানো হয় তা হচ্ছে Binary Operation। খুব সোজা, Binary মানে কি? Bi মানে ২। Binomial Expansion(a+b)^n এর মতন। তাহলে Binary Operation কি?

মনে করি S একটা non-empty সেট। ধরে নিচ্ছিa,b\epsilon S, তাহলে যদি a*b=c\epsilon S হয় তবেই * একটা Binary Operation এবং S সেটটা closed under defined operation *। এটাকেই বলা হয় closure property, এরকম একটা অপারেশনকে বলা হয় mapping।S*S\rightarrow S এটাই S এর উপরে একটা Binary Operation। এরকম সেটগুলোকে <S,*> এভাবে লেখা হয়। অনেকে মনে করে Binary Operation মানে স্বাভাবিক +,-,*,/ এর মধ্যে সীমাবদ্ধ। কিন্তু যা বোঝা যায় এটা তারচেয়েও অনেক বেশি General Case  সংজ্ঞায়িত করতে পারে। যেমন x*y হলে প্রথম উপাদান নাও। তাহলে x*y = x। এছাড়াও বহুল প্রচলিত অপারেশনগুলোর মধ্যে আছে মডুলো ডিভিশন।

 

কতগুলো উদাহরণ দেখব। তাতে করে জিনিসটা একেবারেই পরিষ্কার হয়ে যাবে।

Example: Suppose that * is an associative binary operation on a set S. Let H=\begin{Bmatrix} a\epsilon S|a*x=x*a\forall x\epsilon S \end{Bmatrix}. Show that H is closed under *.

Solution: Let a,b\epsilon H. We have to prove that (a*b)\epsilon H. Let x\epsilon S, then

x*(a*b)=(x*a)*b \\\Rightarrow x*(a*b)=(a*x)*b\\\Rightarrow x*(a*b)=a*(x*b)\\\Rightarrow x*(a*b)=a*(b*x)\\\Rightarrow x*(a*b)=(a*b)*x\\\Rightarrow (a*b)\epsilon H\\H \hspace{1 mm} is \hspace{1 mm} closed \hspace{1 mm} under \hspace{1mm}*

Example: Suppose that * is an associative and commutative binary operation on a set S. Show that H=\begin{Bmatrix} a\epsilon S|a*a=a \end{Bmatrix} is closed under *.

Solution:

[***Did anyone notice that here each element is acting like the identity element of itself. Problem is, the identity is not unique, and hence by the existence uniqueness theorem, an identity does not exist since it is not unique***]

Let a,b \hspace{1mm} \epsilon H. We have to prove that (a*b)*(a*b)=(a*b)\epsilon H.

(a*b)*(a*b)=a*(a*b)*b*(a*b) \hspace{2 mm}[Distributive\hspace{1mm}Law] \\\Rightarrow (a*b)*(a*b)=(a*a)*b*(b*a)*a \hspace{2 mm}[Associative \hspace{1 mm}Law]\\\Rightarrow (a*b)*(a*b)=((a*b)*b)*((b*a)*a)\\\Rightarrow (a*b)*(a*b)=(a*(b*b))*(b*(a*a))\\\Rightarrow (a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)\\\Rightarrow(a*b)*(a*b)=(a*b)*(a*b) \hspace{2 mm} [Commutative \hspace{1mm}Law]\\\Rightarrow (a*b)*(a*b)=(a*b) \hspace{2mm} [Using \hspace{1mm} the \hspace{1mm}given\hspace{1mm}property\hspace{1mm}a*a=a]

যখন S এর উপাদানগুলো finite হয় তখন তাদের মধ্যে সম্ভাব্য combination গুলোও finite হয় তখন এটার closure একটা টেবিল তৈরি করে খুব সহজেই বের করা যায়।

Example: If S=\begin{Bmatrix} a,b,c \end{Bmatrix} then check whether S is closed under *.

Solution:

Untitled2

Identity Element = a
Symmetry exhibits commutativity.

There are no elements in the table that is not in the set S.

Hence this set is closed under *.

পরবর্তী লেখায় আরও কিছু দিক নিয়ে লেখার ইচ্ছা আছে।

Awnon Bhowmik
Author: Awnon Bhowmik

I know very little to be proud about it. Mathematics enthusiast, possess a lust for mathematical/computational knowledge

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/awnon/3070/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

3 comments

  1. চালিয়ে যাও।

  2. চালায় যান ভাই

  3. অসাম একটি পোস্ট

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading