Group Theory এর খুঁটিনাটি

বিশ্ববিদ্যালয়ে উঠার পরেই দেখা যায় ছেলেমেয়েদের দুর্বলতা বীজগণিতে। অথচ এই বীজগণিতেই সারা জীবন সবচেয়ে বেশি নাম্বার পায় তারা। আমার অবস্থা তো তারচেয়েও খারাপ। পাটিগণিতে পেয়েছিলাম সবচেয়ে বেশি, তাহলে আর বীজগণিতের কি বুঝব। তবে অনেকদিন ধরে বীজগণিত করতে করতে টের পাচ্ছিলাম শুধু x, y, z ও সমীকরণের মান নির্ণয় করার মাঝে সীমাবদ্ধ নয় এই বিষয়। Discrete Mathematics এর সাথে Linear Algebra এবং Abstract Algebra জুড়ে দিলে কোন ডিগ্রি ছাড়াই মানুষ অনেক ভাল মানের Electrical Engineer হয়ে যাবে। তবে সে পড়াটা একটু বেশি কঠিন। আগে প্রাথমিক জ্ঞানের ভিত্তি শক্ত হতে হবে। আমরা অনেকেই চিন্তা করি আমাদের বাধা ধরা উপপাদ্য পড়ানো হচ্ছে। কারণটা খুবই স্বাভাবিক। ব্যাকরণ না জানলে যেমন ভাষাশিক্ষা পূর্ণ হয় না, তেমনই এই সহজ জিনিসগুলো না জানলে না বুঝলে কঠিন জিনিসগুলো বুঝা একেবারেই অসম্ভব হয়ে পরে।

প্রথমে শেখানো হয় Linear Algebra। এটা মোটামুটিভাবে অনেকে বুঝলেও Abstract Algebra তে আশা করে ক্লাস করতে যেয়ে কিছুই বুঝতে পারে না। প্রথমেই যে জিনিসটা পেছানো হয় তা হচ্ছে Binary Operation। খুব সোজা, Binary মানে কি? Bi মানে ২। Binomial Expansion $(a+b)^n$ এর মতন। তাহলে Binary Operation কি?

মনে করি S একটা non-empty সেট। ধরে নিচ্ছি $a,b\epsilon S$ , তাহলে যদি $a*b=c\epsilon S$ হয় তবেই * একটা Binary Operation এবং S সেটটা closed under defined operation *। এটাকেই বলা হয় closure property, এরকম একটা অপারেশনকে বলা হয় mapping। $S*S\rightarrow S$ এটাই S এর উপরে একটা Binary Operation। এরকম সেটগুলোকে $<S,*>$ এভাবে লেখা হয়। অনেকে মনে করে Binary Operation মানে স্বাভাবিক +,-,*,/ এর মধ্যে সীমাবদ্ধ। কিন্তু যা বোঝা যায় এটা তারচেয়েও অনেক বেশি General Case সংজ্ঞায়িত করতে পারে। যেমন x*y হলে প্রথম উপাদান নাও। তাহলে x*y = x। এছাড়াও বহুল প্রচলিত অপারেশনগুলোর মধ্যে আছে মডুলো ডিভিশন।

কতগুলো উদাহরণ দেখব। তাতে করে জিনিসটা একেবারেই পরিষ্কার হয়ে যাবে।

Example: Suppose that * is an associative binary operation on a set S. Let $H=\begin{Bmatrix} a\epsilon S|a*x=x*a\forall x\epsilon S \end{Bmatrix}$ . Show that H is closed under *.

Solution: Let $a,b\epsilon H$ . We have to prove that $(a*b)\epsilon H$ . Let $x\epsilon S$ , then

$x*(a*b)=(x*a)*b \\\Rightarrow x*(a*b)=(a*x)*b\\\Rightarrow x*(a*b)=a*(x*b)\\\Rightarrow x*(a*b)=a*(b*x)\\\Rightarrow x*(a*b)=(a*b)*x\\\Rightarrow (a*b)\epsilon H\\H \hspace{1 mm} is \hspace{1 mm} closed \hspace{1 mm} under \hspace{1mm}*$

Example: Suppose that * is an associative and commutative binary operation on a set S. Show that $H=\begin{Bmatrix} a\epsilon S|a*a=a \end{Bmatrix}$ is closed under *.

Solution:

[***Did anyone notice that here each element is acting like the identity element of itself. Problem is, the identity is not unique, and hence by the existence uniqueness theorem, an identity does not exist since it is not unique***]

Let $a,b \hspace{1mm} \epsilon H$ . We have to prove that $(a*b)*(a*b)=(a*b)\epsilon H$ .

$(a*b)*(a*b)=a*(a*b)*b*(a*b) \hspace{2 mm}[Distributive\hspace{1mm}Law] \\\Rightarrow (a*b)*(a*b)=(a*a)*b*(b*a)*a \hspace{2 mm}[Associative \hspace{1 mm}Law]\\\Rightarrow (a*b)*(a*b)=((a*b)*b)*((b*a)*a)\\\Rightarrow (a*b)*(a*b)=(a*(b*b))*(b*(a*a))\\\Rightarrow (a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)\\\Rightarrow(a*b)*(a*b)=(a*b)*(a*b) \hspace{2 mm} [Commutative \hspace{1mm}Law]\\\Rightarrow (a*b)*(a*b)=(a*b) \hspace{2mm} [Using \hspace{1mm} the \hspace{1mm}given\hspace{1mm}property\hspace{1mm}a*a=a]$