অয়লারের সমীকরণ

আমি যখনই কিছু লিখি খুব বেশি সারা পাই না। মানুষ হয়ত আমার লেখা পছন্দ করে না। তাই আজকে যা নিয়ে লিখব সেটা তো সবাই জানে। তার ফলে যদি কোন সুফল আসে। অয়লারের সমীকরণ সম্পর্কে তো সবাই কমবেশি জানি। আজকে কিছু মজার দিক দেখব।

প্রথম বর্ষে থাকতে De Moivre’s Theorem পড়েছিলাম Fundamentals of Mathematics কোর্সটাতে। এটাতে প্রমান করা হয় কমপ্লেক্স নাম্বারের একটা গুরুত্বপূর্ণ থিওরেম। অনেকেই জানে, তারপরও একটু দেখে নেই। হয়ত ভাল লাগবে পুরানো কিছু পড়লে, কারণ যতই বড় ক্লাসে উঠি ততই তো ঠেলা খাই সবাই।

যাই হোক, De Moivre’s Theorem প্রমান করে যেকোনো integer n এর জন্য

(cos(x)+i sin(x))^n=cos(nx)+i sin(nx)

এটা কোথা থেকে আসে? এটা কিন্তু অনেক জটিল একটা উপপাদ্য। এটাতে যাওয়ার আগে একটু সহজ জিনিস নিয়ে ঘাটাঘাটি করা উচিত। এটাকে আমরা বলি অয়লারের সমীকরণের ভিত্তি। একটু দেখে নেই…

e^{i\theta}\+=cos\theta+isin\theta

এটাকে কিভাবে প্রমান করা যায়? খুব সহজ, Taylor Expansion Polynomial method জানলে এক্ষনি বের হয়ে যাবে। দেখি একটু করি…

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...

e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+...

এখন যদি i ফ্যাক্টর করে বের করে নেই, তাহলেই পেয়ে যাব আমাদের sine এবং cosine সিরিজ।

e^{i\theta}=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)

e^{i\theta}\+=cos\theta+isin\theta

হয়ে গেল সহজেই। এই জিনিসটার একটা extension  ও আছে।

e^{i\pi}+1=0

এটাকেই বলা হয় অয়লারের সমীকরণ

এটা কিভাবে কাজ করে একটু দেখি।

e^{i\pi}=cos(\pi)+isin(\pi)

cos(\pi)=-1; and, sin(\pi)=0

এখান থেকেই রেজাল্ট বোঝা যায়।

e^{i\pi}+1=-1+1=0

কেন এটা খুবই সুন্দর একটা সমীকরণ? কারণ এটার মধ্যে একটা Basic Angle পাই আছে। অর্ধবৃত্তর মতন। একটু পরেই আসছি সে প্রসঙ্গে। এখানে একটা ১ দেখা যাচ্ছে। যারা group theory পড়েছেন তারা ভালই জানেন এটা কি জিনিস। এটা একটা identity. আরও ভালমত বললে এটাকে বলা হয় Multiplicative identity। ০ আর বাদ থাকবে কেন? এতক্ষনে নিশ্চয় বুঝে গেছেন আমি কি বলতে যাচ্ছি। এটাও একটা identity, এটা হচ্ছে additive identity। সমীকরণে লেবেল করতে ভুলে গেছি, তবে যা বলছি ওই সমীকরণ সম্পর্কেই বলছি।

এবার আসছি বৃত্তের প্রসঙ্গে। কমপ্লেক্স নাম্বার শিখেছিলাম না? দেখি কি কি মনে আছে…

যেকোনো কমপ্লেক্স নাম্বারকে a+bi এইভাবে লেখা যায়। সব বাস্তব সংখ্যাই কমপ্লেক্স, কিন্তু সব কমপ্লেক্স সংখ্যা বাস্তব নয়।

বৃত্তটা যেখান থেকে আসেঃ

এটা আসে কমপ্লেক্স নাম্বারের Absolute Value অথবা Modulus থেকে। যেটাকে অনেকে Norm ও বলে থাকেন। দেখতে পাচ্ছেন কি একটা সহজ জিনিস শেখার জন্য কত জিনিস জানা যায়, আর কত মজা লাগে শিখতে? Absolute Value সম্পর্কে জানি ক্যালকুলাস করতে এসে, Modulus সম্পর্কে জানি Fundamentals of Mathematics এবং Number Theory থেকে। Norm শিখি Linear Algebra তে যেয়ে।

একটা কমপ্লেক্স নাম্বার x + iy নিলাম। এটার Absolute Value কত হবে? \sqrt{x^2+y^2} হবে। এটা ছিল Cartesian Coordinates এ বের করা। এটাকে আবার Polar Coordinates দিয়েও বের করা যায়, এবং এটাও অনেক কাজে লাগে। দেখুন…

যখন নাম্বারটাকে পোলারে লেখা হবে তখন এটা দেখতে হবে এরকম

General representation of a complex number in polar form =re^{i\theta}, where theta is in radians [Complex Analysis]

যদি এরকম দুটো কমপ্লেক্স নাম্বার নেই কেমন হয় একটু দেখি…

z_1=r_1e^{i\theta_1} and \space\ z_2=r_2e^{i\theta_2}

z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}

কেউ যদি এভাবে যেকোনো ২টা কমপ্লেক্স নাম্বার নিয়ে গ্রাফ পেপারে এঁকে দেখে তাহলে অবশ্যই বুঝবে ব্যাপারটা। নাম্বার দুটোকে গুন করলে যা পাওয়া যায় সেটার অবস্থান কোণ আগের নাম্বারদ্বয়ের কোণের যোগফলের সমান। কি মনে হচ্ছে? একটা বৃত্ত ঘুরাচ্ছি মনে হচ্ছে না? আরও একটু পরিষ্কার করে দিচ্ছি…

যদি, |z| = 1 হয় তাহলে

|x + iy| = 1

or, x^2+y^2 = 1

দেখতে পাচ্ছি আমরা একটা Unit Circle এর সমীকরণ পাচ্ছি। এটা হচ্ছে একদম সহজ সরল হিসাব, কিন্তু এটা ভালমতই বুঝে যাওয়া উচিত যে কমপ্লেক্স নাম্বার বানানো (Generating Complex Numbers) মানে হচ্ছে একটা বৃত্ত ঘুরানো। যদি x এবং y লম্ব হয়, তাহলে তাদের মাঝের কোণ এক সমকোণ। সেটা ধরে নিয়ে পোলার এর সুত্রে বসালেই কিন্তু পেয়ে যাব। [e^{i\theta} তে বসান]

এবং যেহেতু বৃত্তটা ঘুরতে থাকে তাই একটা কমপ্লেক্স সমীকরণ solve করতে গেলে অনেক উত্তর আসবে, কারণ কি? একটা বৃত্তের একটা Period of Rotation থাকে2\pi, এজন্যই কিন্তু সমাধান করলে সেগুলো দেখতে এরকম হয়, \frac{2\pi\*k}{n} । যারা ভুলে গেছেন তাদের বলে দেই, বৃত্তের ব্যাপারটা অনেক আগেই ধরতে পারা উচিত ছিল, আমি তো এতক্ষণ sine এবং cosine নিয়ে খেললাম, টের পেয়েছেন কি? এদের দুজনেরই Default Period of Rotation কিন্তু 2\pi। আরও বেকুব বানাই? 😀 অয়লারের যে সুত্রটা, যেটা নিয়ে আমার লেখাটা সেটাতে যে একখান সুন্দর\pi বাবাজি বসে আছেন, খেয়াল করেছেন কি? যেখানেই\piসেখানেই তো বৃত্ত।

একটা অঙ্ক করি, তাহলে হয়ত আর একটু ভাল হবে…

(-1+i)^7 কে expand কর

প্রথমেই বলে দিচ্ছি, এভাবে করা সম্ভব না, ধরা খাওয়ার সম্ভাবনা বেশি।

(-1+i)=\sqrt2

tan(\theta)=-\pi/4

(-1+i)=\sqrt2(cos(\frac{3\pi}{4})+isin\frac{3\pi}{4})

(-1+i)^7=(\sqrt2)^7(cos(\frac{3\pi}{4})+isin(\frac{3\pi}{4}))^7

(-1+i)^7=8\sqrt2(cos(\frac{21\pi}{4})+isin(\frac{21\pi}{4}))

(-1+i)^7=8\sqrt2(-\frac{1}{\sqrt2}-i\frac{1}{\sqrt2})=-8-8i

নতুন কিছু নিয়ে আবারো ফেরত আসব এখানে। ভাল থাকবেন সবাই।

Awnon Bhowmik
Author: Awnon Bhowmik

I know very little to be proud about it. Mathematics enthusiast, possess a lust for mathematical/computational knowledge

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/awnon/3055/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

5 comments

Skip to comment form

  1. আমাদের ক্লাসে বিষয় ভিত্তিক টপিকসগুলো এমন করে কেউ বুঝায় না কেন ? তাহলে তো ম্যাথমেটিকস ডিপার্টমেন্টকে বাঁশ বাগান মনে হতো না আর আমরাও হতাশ হতাম না …

    ভালো লিখছেন ভাই (Y)

    1. একটা কথা বলি, মনে রেখ। আমি ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ে ভর্তি হওয়ার পর যে পরিমাণ মুখস্থ করেছিলাম সারা জীবনেও ততো করি নি। কিন্তু তারপরও নজির আছে, লিনিয়ার অ্যালজেব্রায় ৬০টা থিওরেম ছিল ১ম বর্ষে, ২০টা পড়ে বাকিগুলা বানিয়ে লিখেছিলাম। তুমি তখনি বুঝেছ যখন তুমি একজনকে নয়, হাজার জনকে একই জিনিস ভিন্নভাবে বুঝাতে পারবে। সেটাই তো ভাল শিক্ষকের লক্ষন। আমি একটা উছিলা মাত্র। এগুলো আমার কাছে ছেলেখেলা, কিন্তু এগুলো করেছিলাম অনেক আশা নিয়ে, ২য় বর্ষে উঠার পরে সেই আশাটা আর টেকে নি।

      ২য় বর্ষ থেকেই ম্যারাথন মুখস্থ বিদ্যার দৌড়ে লেগে যাই আমরা, এর মধ্যে আমাদের সৃজনশীল ক্ষমতা কোথায় হারিয়ে যায়, কেউ বলতেই পারে না। ভালো থেকো।

  2. দারুণ লেখা। বিশেষ করে শেষ প্রমাণটার জন্য এক্সট্রা লাইক। (y)

    1. লাইকানোর জইন্নে ধইন্নবাদ ভাইজান 😀

  3. ভাল লিখেছেন ভাই।

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading