Algorithmic Game Theory-4

গত পোস্টে ২টা সংজ্ঞা দিয়েছিলাম এবং বলেছিলাম যে Dominance নিয়ে আরও কিছু সংজ্ঞা দিব। সাথে খাতা কলম রাখলে ভালো হয়। কারণ এই সংজ্ঞাগুলো একটু কঠিন লাগতে পারে।

আমরা গত পোস্টে দেখেছিলাম যে, Row Player সেই Utility ই বেছে নেয় যেটা Dominant।

এখানে ১ম সারিতে ‘ক’ সহযোগিতা করলে পাচ্ছে ‘২’ এবং ২য় সারিতে ‘ক’ বিশ্বাসঘাতকতা করলে পাচ্ছে ‘৩’। এখানে Utility ‘৩’, Utility ‘২’ এর চেয়ে বড় (৩>২)। তাই ‘ক’ এর বিশ্বাসঘাতকতা করার  সম্ভাবনা বেশি।

আবার ২য় কলামের ১ম এবং ২য় সারির তুলনা করি। এখানেও ১ম সারিতে ‘ক’ সহযোগিতা করলে পাচ্ছে ‘০’ এবং ২য় সারিতে ‘ক’ বিশ্বাসঘাতকতা করলে পাচ্ছে ‘১’।এখানে Utility ‘১’, Utility ‘০’ (১>০) এর চেয়ে বড়। তাই ‘ক’ এর বিশ্বাসঘাতকতা করার সম্ভাবনা বেশি।

এখানে ৩ Dominant। এখানে ৩ কিন্তু ‘ক’  এর Action এর Utility. সংজ্ঞাগুলো ভুলে গেলে আবার একটু দেখে নিতে পারেন আগের পোস্টগুলো থেকে। এখানে শুধু আমরা একই প্লেয়ারের বিভিন্ন Action এর তুলনা করে Dominant Action বেছে নিচ্ছি। এক্ষেত্রে অন্য প্লেয়ারের একশন যেটাই হোক না কেন। Dominance হতে পারে ৩ ধরনের, Strict Dominance, Weak Dominance, Very Weak Dominance.

Strict Dominance এর একটা উদাহরণ উপরেই আছে,  তবে নিচে একটা উদাহরণ দিয়ে এই ৩ ধরনের Dominance এর পার্থক্যটা বুঝানোর চেষ্টা করব।

এখানে, আমরা দেখতে পাচ্ছি Row Player এর চারটা একশন এবং Column Player এর একটা একশন। এখানে দেখা যাচ্ছে, a ও b এর জন্য কলাম প্লেয়ার এর একশন একই (১)। এখন এখানে আমরা দেখতে পাচ্ছি, a>b, যেহেতু 3>2 , তাই আমরা বলতে পারি, a,  b কে Strictly Dominate করছে। আমরা এই উদাহরণটার ক্ষেত্রে মূলত ‘Column 1’ এর একশনের জন্য ‘Row Player’ এর একশন গুলোকে তুলনা করছি।

এখন, b,  c এবং d কে Weakly Dominate করছে। কারণ,  2 = 2, এখানে শুধুমাত্র কলাম প্লেয়ারের একশন এর ক্ষেত্রে (2, 1)>=(2,0)। তাই আমরা বলতে পারি, b,  c এবং d কে Weakly Dominate করছে।

আবার c, d কে Very Weakly Dominate করেছে। কারণ, এখানে (2,0) = (2,0)। আবার একইভাবে বলা যায়, d, c কে Very Weakly Dominate করেছে।

আপাতত যে কোন গেম এ একশনের তুলনা করার জন্য আমাদের জন্য Dominance এই ব্যখ্যাটা জানলেই চলবে, এর ফর্মাল সংজ্ঞা দিয়ে কারো মাথা নষ্ট করতে চাইছি না!

এবার একটা সল্যুশন কনসেপ্ট বুঝার চেষ্টা করব, যাকে বলা হয় Iterated Dominance। Iterated Dominance দিয়ে আমরা একটা গেম সলভ করতে পারি। কোন একশন প্রোফাইল ২জন প্লেয়ারের জন্য সুবিধাজনক হবে, অর্থাৎ একটা গেম এর সল্যুশন কি হবে, Iterated Dominance এর মাধ্যমে তা বের করা যায়। তবে সব ক্ষেত্রে যে এই সল্যুশন কাজে লাগবে তা নয়। একটা উদাহরণ দিয়ে শুরু করি তাহলে।

এখানে আমরা একটি 2 x 2 প্লেয়ার গেম দেখতে পাচ্ছি এবং এখানে Row Player এর একশন ২টি এবং Column Player এর একশন ২টি। এখানে আমরা Iterated Dominance এপ্লাই করব। প্রথমেই আমরা কলাম প্লেয়ারের একশনগুলোর তুলনা করি।

এখানে দেখতে পাচ্ছি যে, 1>0, 3>2 , এর মানে প্রথম কলামের একশন ২য় কলামকে Strictly Dominate করছে। তার মানে ২য় কলাম খেলা যাবে না এবং আমরা Column Player এর y কে বাদ দিব।

তাহলে আমরা এখন শুধু প্রথম কলামের একশন দেখব, আর শুধুমাত্র Row Player এর একশনের তুলনা করব। এখানে তুলনা করে দেখা যাচ্ছে,  3>0 , তার মানে Row Player কখনোই ২য় Row বেছে নিবে না।

তাহলে, একমাত্র একশন প্রোফাইল এখানে বাকি আছে, সেটা হলো (3,1), অর্থাৎ Row Player, একশন a এবং Column Player একশন x খেলবে। (3,1) হলো এই গেম এর একটা সল্যুশন। এতক্ষণ আমরা যে উদাহরণ দেখলাম তা Iterated Strict Dominance এর জন্য। তবে Iterated Weak Dominance দিয়েও কিছু কিছু ক্ষেত্রে গেম সলভ করা যায়। এটার উদাহরণ পরে দেখব। তবে আপনাদের জন্য একটা বাড়ির কাজ থাকবে। নিচে একটা 2 x 2 প্লেয়ার গেম আছে এবং এখানে Row Player এর একশন ৩টি এবং Column Player এর একশন ৩টি।

অনেকেই ভাবতে পারেন, আমি একটা সহজ উদাহরণ দিয়ে, একটা কঠিন উদাহরণ বাড়ির কাজের জন্য দিয়ে দিলাম। কিন্তু ব্যাপারটা এমন না আসলে ‘:D । তবে এই উদাহরণ টা সলভ করতে পারলে উপরের কনসেপ্টগুলো ক্লিয়ার হয়ে যাবে।

নাফিসা রায়হানা
Author: নাফিসা রায়হানা

Be less curious about people and more curious about ideas-- Marie Curie.

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/nafisa-raihana/5179/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

1 comments

  1. Great content! Keep up the good work!

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading