মৌলিক সংখ্যা এবং তাদের ধর্ম যুগ যুগ ধরে সকল গণিতবিদ এবং গণিতে শিক্ষানবিশদের চমৎকৃত করে আসছে। এমনি মজার একটি ধর্মবিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যা হল পারমুটেবল প্রাইম (Permutable prime) এবং সার্কুলার প্রাইম (Circular prime)।

একটি বিশেষ মৌলিক সংখ্যা নেয়া যাক। যেমন ধরি, ‘৩৩৭’

এখন সংখ্যাটির অংকগুলিকে নিয়ে ইচ্ছামতো সাজাই।

যেহুতু ৩৩৭ একটি তিন অংকবিশিষ্ট সংখ্যা এবং তার মাঝে দুটি অংক একি (৩) তাই অংকগুলিকে নিয়ে ইচ্ছামতো সাজালে আরও দুটি সংখ্যা পাওয়া যাবে। এগুলো হল ৭৩৩ এবং ৩৭৩।

মজার বিষয় হল প্রাপ্ত এই দুটি সংখ্যাও মৌলিক সংখ্যা।

এ ধরনের সংখ্যাকে বলা হয় পারমুটেবল প্রাইম (Permutable prime)

অর্থাৎ, পারমুটেবল প্রাইম এমন মৌলিক সংখ্যা যার সংখ্যাগুলোকে নিয়ে যেকোনো বিন্যাসে সাজালে পুনরায় মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায়।

অপরদিকে, সার্কুলার প্রাইম একটি বিশেষ ধরনের পারমুটেবল প্রাইম। যদি কোন মৌলিক সংখ্যাকে বৃত্তাকার ভাবে সাজানো হয় এবং প্রাপ্ত নতুন সংখ্যাগুলোও মৌলিক হয় তাহলে সংখ্যাগুলোকে সার্কুলার প্রাইম বলা হয়।

আরেকটু খোলসা করে বললে, সার্কুলার প্রাইম এমন একটি মৌলিক সংখ্যা যার প্রথম সংখ্যাটিকে সরিয়ে নিয়ে এর শেষে সংযোজন করলে পুনরায় আরেকটি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায়। পুনরায়, প্রথম অংকটিকে নিয়ে শেষে সংযোজন

করলে আরেকটি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায়। শুরুর সংখ্যাটি পুনরায় না আশা পর্যন্ত, এভাবে বৃত্তীয় ভাবে বারবার প্রথম অংকটিকে নিয়ে শেষে সংযোজন করে যেই সংখ্যাগুলো পাওয়া যায় সেগুলো মৌলিক সংখ্যা হবে।

এখানে, সার্কুলার প্রাইম এর ক্ষেত্রে বৃত্তীয় ক্রমটি সংরক্ষণ করতে হয়, যেখানে পারমুটেবল প্রাইম যেকোনো বিন্যাসে সাজানো যায়।

অর্থাৎ, প্রতিটি পারমুটেবল প্রাইম একটি সার্কুলার প্রাইম কিন্তু প্রতিটি সার্কুলার প্রাইম, পারমুটেবল প্রাইম নয়।

উধাহরনস্বরূপ, ‘৩৩৭’ সংখ্যাটিকে নেয়া যাক। বৃত্তীয় ক্রম সংরক্ষণ করে একে সাজালে পাওয়া যায় যথাক্রমে, ৩৭৩ এবং ৭৩৩।

প্রাপ্ত সংখ্যাদুটিও মৌলিক,তাই এটি একটি সার্কুলার প্রাইম। এখানে, ৩৩৭ একি সাথে সার্কুলার প্রাইম এবং পারমুটেবল প্রাইম।

সেক্ষেত্রে বুঝার সুবিধার্তে আরেকটি মৌলিক সংখ্যা নেয়া যাক যা সুধুমাত্র সার্কুলার প্রাইম

যেমন, ‘১৯৯৩৭’ ।

বৃত্তীয় ক্রম পরিবর্তন না করে সাজালে আরও চারটি সংখ্যা পাওয়া যায় যথাক্রমে – ৯৯৩৭১, ৯৩৭১৯, ৩৭১৯৯, ৭১৯৯৩ ।

এই প্রাপ্ত নতুন সংখ্যাগুলোর সবগুলোই মৌলিক সংখ্যা।

কিন্তু এই সংখ্যাটিকে অন্য যেকোনো বিন্যাসে সাজালে যৌগিক সংখ্যা পাওয়া যায় যেমন, ‘৯১৯৩৭’ যা কিনা ৮৯ এবং ১০৩৩ দ্বারা বিভাজ্য। এ দ্বারা প্রমানিত হয় যে, ‘১৯৯৩৭’ একটি সার্কুলার প্রাইম হলেও পারমুটেবল প্রাইম নয়।

জার্মান গণিতবিদ H.E.Richert [১৯২৪-১৯৯৩] সর্বপ্রথম পারমুটেবল প্রাইম নিয়ে গবেষণা করেন বলে ধারণা করা হয়।

এদের একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য হল, দুই বা ততোধিক অংকবিশিষ্ট পারমুটেবল প্রাইম এবং সার্কুলার প্রাইম কখনই ০,২,৪,৫,৬ এবং ৮ দ্বারা গঠিত নয়, অর্থাৎ তা অবশ্যই ১,৩,৭ এবং ৯ এই সংখ্যাগুলো নিয়ে গঠিত হবে। কারন, বৃত্তীয় অথবা অবৃত্তীয় ভাবে বিন্যাস করলে তা যেন ২ অথবা ৫ দ্বারা বিভাজ্য না হয়।

৪৯০৮১ এর কম পদ সংখ্যাবিশিষ্ট পারমুটেবল প্রাইম সংখ্যা ১৬ টি, তালিকাঃ

২, ৩, ৫, ৭, R২, ১৩, 1১৭, ৩৭, ৭৯, ১১৩, ১৯৯, ৩৩৭, R১৯, R২৩, R৩১৭ এবং R১০৩১.

এবং সর্বমোট সার্কুলার প্রাইম এর সংখ্যা ২৩ টি, তালিকাঃ

২, ৩, ৫, ৭, R২, ১৩, 1১৭, ৩৭, ৭৯, ১১৩, ১৯৭, ১৯৯, ৩৩৭, ১১৯৩, ৩৭৭৯, ১১৯৩৯, ১৯৯৩৭, ১৯৩৯৩৯, ১৯৯৯৩৩, R১৯, R২৩, R৩১৭ এবং R১০৩১.

যেখানে Rn দ্বারা বিশেষ এক ধরনের সংখ্যা নির্দেশ করা হয় যা কিনা n সংখ্যক ১ দ্বারা গঠিত। এদেরকে বলা হয় রিপিউনিট প্রাইম (Repunit Prime) ।

এখানে বিন্যস্ত সংখ্যাগুলোর সেট এর মাঝে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটিকে উল্লেখ করা হয়েছে। যেমন, পারমুটেবল প্রাইম এর ক্ষেত্রে ১৯৯, ৯৯১, ৯১৯ এই তিনটি সংখ্যার মাঝে সবচেয়ে ছোট ১৯৯ তাই তালিকায় যুক্ত হয়েছে।

Author: আরিফিন রহমান