যদিও খুব একটা ভাল লিখতে পারি না তারপর ও লিখার সাহস করলাম। লুকাস রাশিমালা নিয়ে লিখার আগে একটি গল্প দিয়ে শুরু করব।অবশ্য গল্পের মধ্যে রয়েছে একটি ধাঁধা।

ভারতের  উত্তর প্রদেশের বারানসীতে বিশ্বনাথ দেবের মন্দির অবস্থিত। পুরাণের বর্ণনা অনুসারে,সৃষ্টির দেবতা ব্রহ্মা জগত সৃষ্টি কালে প্রথম এই মন্দিরটি তৈরি করেন । মন্দিরের একটি কক্ষে ধাতব পাত্রে তিনি তিনটি হীরক দণ্ড স্থাপন করেন এবং প্রথম দন্ডে ৬৪টি সোনার চাকতি রাখেন । চাকতিগুলো এমন ভাবে রাখা হল যাতে বৃহত্তম চাকতিটি  সবার নীচে এবং ক্ষুদ্রতম চাকতিটি সবার উপরে থাকে। মন্দিরের ব্রাহ্মণ পুরোহিত ব্রহ্মার নির্দেশ পালনে প্রতিনিয়ত এই চাকতিগুলো পাশের দন্ডে সরিয়ে রাখছেন।

এভাবে নির্দিষ্ট কিছু নিয়ম অনুসরন করে যেদিন প্রথম দন্ডের চাকতিগুলো শেষ দন্ডে প্রথমটির অবিকল ক্রমানুসারে সরানো সম্ভব হবে সেদিনই পৃথিবী ধ্বংস হবে বলে জনশ্রুতি আছে।অবশ্য এই কাহিনী নিয়ে রয়েছে নানা তর্ক বিতর্ক।  কোন কোন তথ্য মতে কাহিনীটি মোটেও  ভারতবর্ষের  নয় বরং ভিয়েতনামের হ্যানয়ের। তবে  ধাঁধাটি “টাওয়ার অব হ্যানয়” নামেই বেশি জনপ্রিয়। হয়তো এ রকম কোনো গল্পেই অণুপ্রাণিত হয়ে ফরাসি গণিতবিদ ফ্রাঁসোয়া এডওয়ার্ড লুকাস ১৮৮৩ সালে একটি ধাঁধা তৈরি করে বসলেন।

লুকাস রাশিমালা হলো  ফ্রাঁসোয়া এডওয়ার্ড লুকাস এর আবিষ্কৃত পূর্ণ সংখ্যার ধারা। ফিবোনাচ্চি রাশিমালা ও লুকাস রাশিমালা – দুইটিই হলো লুকাস ধারার উদাহরণ। লুকাস রাশিমালার প্রতিটি সংখ্যা পূর্বের দুইটি সংখ্যার যোগফলের সমান। তাই লুকাস রাশিমালার পর পর দুটি সংখ্যার অনুপাতসোনালি অনুপাত(Golden Ratio) এর সমান। ফিবোনাচ্চি রাশিমালার সাথে লুকাস রাশিমালার পার্থক্য হলো, এর প্রথম দুইটি সংখ্যা হলো L₀ = 2 এবং L₁= 1 (ফিবোনাচ্চি রাশিমালাতে এই দুটি সংখ্যা হলো 0 এবং 1)।

কাজেই, লুকাস রাশিমালার সংজ্ঞা দেয়া যায় এভাবেঃ

লুকাস রাশিমালার সংখ্যাগুলি হলো: ২, ১, ৩, ৪, ৭, ১১, ১৮, ২৯, ৪৭, ৭৬, ১২৩, প্রভৃতি।

অর্থাৎ,                                -১+২=১                                                

                                                   ২+১=৩                                                        

                                                            ১+৩=৪                                                                

                                                                     ৩+৪=৭   

লুকাস রাশিমালাকে ঋণাত্মক দিকে বর্ধিত করার জন্য ব্যবহার করা যায় L_n-2 = L_n – L_n-1 – এই সূত্রটি। এর ফলে ঋণাত্মক দিকে লুকাস সংখ্যার যে ধারা পাওয়া যায়, তা হলো এরকম: … -১১, ৭, -৪, ৩, -১, ২, ১, ৩, ৪, ৮, ১১,   লুকাস রাশিমালার সাথে ফিবোনাচ্চি রাশিমালার সম্পর্ক হলো :

অর্থাৎ, L(3)=F(2)+F(4)                  

                         =1+3=4

একটি চার্টের মাধ্যমে সম্পর্কটি দেখানো হলো ঃ

আর লুকাস রাশিমালার সংখ্যা বের করার সূত্র হলো:

যেখানে হলো সোনালি অনুপাত।

 এবং 

এছাড়া ও লুকাসীয় মৌলিক সংখ্যা হলো লুকাস রাশিমালার এমন একটি সংখ্যা যা মৌলিক সংখ্যা ও বটে। প্রথম কয়েকটি লুকাসীয় মৌলিক সংখ্যা হলো ২, ৩, ৭, ১১, ২৯, ৪৭, ১৯৯, ৫২১, ২২০৭, ৩৫৭১, ৯৩৪৯, …                                                                                              

n = ০, ৪, ৮, ১৬, ছাড়া, যদি L_n একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে n একটি মৌলিক সংখ্যা ।

এই গেলো থিওরিটিকাল ব্যাপার।প্রাকৃতিক উদারণ দিতে গেলে বলবো পাতার বিন্যাস বা ফুলের পাপড়ির বিন্যাস ফিবোনাচ্চি ও লুকাস রাশিকে অনুসণ করে।যদিও আমরা জানি  পাতার বিন্যাস বা ফুলের পাপড়ির বিন্যাস  ফিবোনাচ্চি  রাশি অনুযায়ী হয়ে থাকে কিন্তু অনেক গবেষণায় দেখা গেছে  ফুলের পাপড়ির বিন্যাস  ফিবোনাচ্চি  রাশি অপেক্ষা লুকাস রাশিকে অধিক অনুসরণ করে।

সবশেষে ধাঁধার উত্তরটা……. !! 

“টাওয়ার অব হ্যানয়” নামে ধাঁধাটি জনপ্রিয় এবং এটি খেলা হয় চাকতি সরানোর মাধ্যমে।চাকতি সরানোর নিয়ম গুলো এরকমঃ

একবারে শুধুমাত্র একটি চাকতি সরানো যাবে।

একটি দন্ড হতে শুধুমাত্র উপরের চাকটিই সরানো যাবে এবং সরিয়ে যখন অপর দন্ডে রাখা হবে তখন তা সেই দন্ডের বর্তমান চাকতিগুলির উপর রাখতে হবে, নিচে রাখা যাবে না এবং

কোন চাকতিকেই ঐ চাকতি অপেক্ষা ছোট চাকতির উপরে রাখা যাবে না।

চারটি চাকতির টাওয়ার অব হ্যানয় কিভাবে কম সংখ্যক মুভের(move) মাধ্যমে সমাধান করা যায় তার একটা অ্যানিমেশন উইকিপিডিয়া থেকে দিয়ে দিলামঃ

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Tower_of_Hanoi_4.gif

Author: নাফিসা রায়হানা

Be less curious about people and more curious about ideas-- Marie Curie.