Wigner’s Semicircle Law – ২

আগের পোস্টে  Wigner’ s Semicircle Law – ১ শুরুর দিকের কথা – এ নিউক্লিয়াসের এনার্জি লেভেল নিয়ে কিছু কথা বলেছি। আজকে আরো কিছু কথা বলা প্রয়োজন। জিনিসগুলো অল্প কথায় শেষ করা বেশ কঠিন একটা কাজ বটে।

আমি গত পোস্টে লিখেছি যে, হ্যামিলটোনিয়ান অপারেটরের আইগেনভ্যালু দ্বারা কোন সিস্টেমের এনার্জি লেভেলের বর্ণনা আমরা দেই। এখন এই হ্যামিলটোনিয়ান অপারেটরের আইগেনভ্যালু কি বাস্তব সংখ্যা হবে নাকি জটিল সংখ্যা? উত্তর হবে বাস্তব সংখ্যা কারণ আমরা যখন কোন কিছু পরিমাপ করতে পারি, তখন ঐ ‘কোন কিছু’কে আমরা পদার্থবিজ্ঞানের ভাষায় ‘অবজারভেবল [Observable] বলি।  অবজারভেবল হলো কোন ভৌত রাশি [Physical Quantity] যাকে আমরা পরিমাপ করি। কোয়ান্টাম মেকানিক্সে অবজারভেবল হলো কোন হারমিশিয়ান [Hermitian] অপারেটর এবং এই অপারেটরের আইগেনভ্যালুগুলো বাস্তব সংখ্যা দিবে [কোয়ান্টাম মেকানিক্সের ব্যাপারে যাদের ধারণা নেই, তাদের কাছে অনেক জিনিস অদ্ভুত মনে হবে। তবে আশা করি, কোয়ান্টাম মেকানিক্সের সিরিজ লেখা শুরু করলে আস্তে আস্তে ধারণা পেয়ে যাবেন]।

এখন কোন জটিল বা কমপ্লেক্স সিস্টেম; কোন ভারী নিউক্লিয়াস, যেমনঃ ইউরেনিয়াম, এর হ্যামিলটোনিয়ানের ব্যাপারে জানা আমাদের পক্ষে সম্ভব হয় না, কারণ এর নিউক্লিয়াসে ২০০ টির বেশি প্রোটন ও নিউট্রন আছে এবং এতো কমপ্লেক্স সিস্টেমের হ্যামিলটোনিয়ান যদি আমরা কোনভাবে বেরও করে ফেলি, তা সমাধান করা অনেক জটিল একটা কাজ হবে। তাই আমরা যা করতে পারি তা হলো, ঐ কমপ্লেক্স সিস্টেমের হ্যামিলটোনিয়ানের ব্যাপারে আমরা একটা স্ট্যাটিসটিকাল অনুমান করে নেই। স্ট্যাটিসটিকাল থিওরি এই ক্ষেত্রে কোন একটা নিউক্লিয়াসের এনার্জি লেভেলের ব্যাপারে আমাদের ধারণা দিবে না বরং এই থিওরি আমাদের যে কোন নিউক্লিয়াসের এনার্জি লেভেলের ব্যাপারে ধারণা দিবে। আমরা স্ট্যাটিসটিকাল মেকানিক্সে হ্যামিলটোনিয়ানের এনসাম্বল* নিয়ে কথা বলি। [বড় বিপদ হয়ে যাচ্ছে, একের পর এক নতুন জিনিস এসেই যাচ্ছে, যে ব্যাপারে আবার ধারণা দিতে হচ্ছে। একটু ধৈর্য নিয়ে পড়ুন।]

*এনসাম্বল – ধরুন আপনি একটা মুদ্রা টস করলেন। আপনি হেড অথবা টেল পাবেন। আপনি এই পরীক্ষাটা [মুদ্রা টসের] অনেকবার করলেন। এক এক সময়, এক এক ফলাফল পাবেন। তবে এই ফলাফল কিন্তু আপনি সহজে অনুমান করতে পারছেন না। যেহেতু কিভাবে মুদ্রাটা টস হয়ে কখনো হেড কখনো টেল পরছে, আপনি এটা জানেন না, সেহেতু আপনার পক্ষে অনুমানও সম্ভব না। স্ট্যাটিসটিকাল মেকানিক্সে আমরা যা করি তা হলো, একই ধরনের $N$ সংখ্যক মুদ্রা আমরা নেই, $N$ খুবই বড় সংখ্যা এখানে। আগের মতো যদি আমরা এতো বিশাল সংখ্যক মুদ্রা টস করি, তাহলে আমরা এই বড় সংখ্যার কিছু ভগ্নাংশ পাবো হেড, আর কিছু টেল। এই ভগ্নাংশগুলোই আমাদের দিবে মুদ্রাগুলোর হেড পরার সম্ভাব্যতা এবং টেল পরার সম্ভাব্যতা। এই যে একটা বড় সংখ্যক একই ধরনের মুদ্রা আমরা নিলাম, একে এনসাম্বল বলা যায়।

এই ব্যাপারটাই আমরা কোন নিউক্লিয়াসের ক্ষেত্রে বলতে পারি যে, একটি নিউক্লিয়াসের এনার্জি লেভেলের কথা না বলে আমরা একই ধরনের অনেকগুলো নিউক্লিয়াসের এনার্জি লেভেলের এভারেজ নিব, যা আমাদের এনসাম্বল এভারেজ।

উইগনার বলেন যে, আমরা যদি নিউক্লিয়াসের এনসাম্বল নেই, তাহলে এনার্জি লেভেলগুলোর স্ট্যাটিসটিকাল ধর্ম [Statistical Behavior] একটি র‍্যান্ডম মেট্রিক্সের আইগেনভ্যালুর বৈশিষ্ট্যের সাথে মিলে যায় এবং ঐ সিস্টেমের সিমেট্রিগুলোই র‍্যান্ডম মেট্রিক্সে আরোপ করা হয়। এখন কিভাবে কি মিলে যায়, সেটা বুঝার জন্য, র‍্যান্ডম মেট্রিক্সের একটা ধারণা থাকা দরকার। র‍্যান্ডম মেট্রিক্স হলো একটি মেট্রিক্স যেই মেট্রিক্সের উপাদান গুলো একেকটি র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল। এখন উইগনারের কথা অনুযায়ী, শুধু উপাদানগুলো র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল হলেই তো হলো না, ম্যাট্রিক্স থেকে বাস্তব আইগেনভ্যালুর স্পেক্ট্রাম পেতে হলে নিশ্চয়ই আরো কিছু জিনিস দরকার। তা হলো, আমরা রিয়েল সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স নিব [বা কমপ্লেক্স হারমিশিয়ান, বা কোয়াটারনায়ন সেলফ ডুয়াল হারমিশিয়ান মেট্রিক্স; এই ২টা নিয়ে আপাতত ভাবার দরকার নেই] এবং এই মেট্রিক্সের ডায়াগনাল উপাদানগুলো একই ডিস্ট্রিবিউশন মেনে চলবে এবং বাকি উপাদানগুলোর গড় হবে শুণ্য ও তাদের আদর্শ বিচ্যুতি [Mean Squared Deviation] সমান হবে।  এইতো হলো।

এই র‍্যান্ডম মেট্রিক্সের আইগেনভ্যালু বের করে, এই স্পেকট্রামের ঘনত্ব ও ব্যবধানের ডিস্ট্রিবিউশন যদি আমরা পর্যবেক্ষণের চেষ্টা করি তাহলে দেখব যে, আমাদের এই র‍্যান্ডম মেট্রিক্সগুলোর প্রতিটি উপাদানের খুঁটিনাটি তথ্য আমরা এখান থেকে আর পাচ্ছিনা। তাহলে আমরা বলতে পারি যে, মাইক্রোস্কপিক জটিলতাকে আমরা একরকমভাবে এড়াতে সক্ষম হয়েছি এবং একই সাথে একটা জটিল সিস্টেমের এনার্জি লেভেলের এভারেজ সম্পর্কে ধারণা পাচ্ছি। এই যে বললাম, মাইক্রোস্কপিক জটিলতা- এটার সঠিক নাম হলো মাইক্রোস্কপিক ডিগ্রিস অফ ফ্রিডম [Microscopic Degrees of Freedom]।

আচ্ছা, এটা নিয়ে পরের পোস্টে কথা বলি, আর সাথে আরো কি কি নিয়ে আলোচনা করা যায় তা চিন্তা করতে থাকি, ততক্ষণ আপনারাও এই লেখাগুলো বুঝার চেষ্টা করতে থাকেন!

নাফিসা রায়হানা
Author: নাফিসা রায়হানা

Be less curious about people and more curious about ideas-- Marie Curie.

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/nafisa-raihana/4912/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading