নায়ক রুহান্রুহানকে ওয়েটিং লিস্টে বসিয়ে রেখেছি। ততখন Spatial Frequency নামক রহস্যময় একটা জিনিসের সুরাহা করা যাক। যাদের কাছে ফিজিক্স দুই চোখের বিষ, তাদের বিরক্ত হওয়ার কোন কারন নেই। সরল দোলক টোলক নিয়ে বসে পড়বনা। আজকে শুধু আঁকিবুকি করব। রংতুলি হচ্ছে আমার অতিপ্রিয় ডেসমস। আঁকা শুরু করলাম!

একটু নিচের ফাংশনটার দিকে তাকান।

আমাদের অতি নিরিহ সাইন ওয়েভের গ্রাফ। বামদিকে $-\pi$ এর পর আর আঁকিনি। ডান দিকেও $\pi$ এর পর থেমে গেছি। কারণ আঁকার কোন প্রয়োজন নাই। একই ছবি সারা জীবন ধরে বামে ডানে রিপিট করে যাবে। ভদ্রভাষায় আমরা বলি, $y=\sin x$ একটা পিরিওডিক ফাংশন। যতটুকু জায়গা পরপর সে নিজেকে রিপিট করছে, তাকে আমরা বলি পিরিওড। উপরের ছবিতে গ্রাফটার পিরিওড হচ্ছে গিয়েঃ
\begin{eqnarray}
\pi – (-\pi) = 2\pi
\end{eqnarray}

$x$ এর সাথে একটা $2$ লাগিয়ে দিলে কেমন হয়? নতুন কী ঘটনা ঘটে দেখা যাকঃ

প্রায় একই রকম ছবি, কিন্তু $\sin x$ এর ছবিতে $[-\pi,\pi]$-ইন্টারভেলের মধ্যে একটাই ওয়েভ ছিল। $\sin 2x$ এর ছবিতে একই ইন্টারভেলে দু’টো ওয়েভ চলে এসেছে। তাহলে কী $\sin 3x$-এর ছবিতে $[-\pi,\pi]$ -এর ভেতর তিনটে ওয়েভ থাকবে?

অবশ্যই! অতিআগ্রহে $\sin 10x$ এর গ্রাফটাও এঁকে ফেললাম। গুনে দেখুন, $[-\pi,\pi]$-এর ভেতর দশটা ওয়েভ। নো সারপ্রাইজ। আমরা দৃঢ় কণ্ঠে ঘোষণা করতেই পারি, $\sin kx$ এর গ্রাফে $[-\pi,\pi]$-ইন্টারভেলে $k$-টা ওয়েভ থাকবে। স্বাভাবিক ভাবেই এই $k$ ‘কে ইংরেজিতে ওয়েভনাম্বার বলে। এর আরেকটা নাম আছে। সেটা হল “স্পেইশাল ফ্রিকুয়েন্সি” (spacial নয় কিন্তু, শব্দটা spatial. মানে space জনিত)। তাহলে ভদ্রভাষায়, $\sin kx$ -এর স্পেইশাল ফ্রিকুয়েন্সি বা আপাতত, শুধু ফ্রিকুয়েন্সি হচ্ছে $k$.

সুপারপোজিশনের ধারনা কার কার আছে হাত তুলুন। যারা হাত তুলেছেন, তারা ঘুমিয়ে পড়ুন। যারা তোলেননি, তাদের শিখতে দুই মিনিট লাগবে। দুটো ওয়েভের সুপারপোজিশন মানে একটার ফাংশনভ্যালুর সাথে আরেকটার ফাংশনভ্যালুর যোগ করে দেওয়া। আর কিছুইনা। ইচ্ছেমত কয়েকটা ফাংশন চিন্তা করুন। আমার মাথায় এই মুহুর্তে চারটা ফাংশন এলঃ
$$y = x, \quad y = -3x^2, \quad y = -0.5 x^3, \quad y = x^4.$$
আলাদা আলাদা করে আঁকলে ফাংশন গুলোর গ্রাফ হবে এরকমঃ

কিন্তু এগুলোকে যোগ করে দিয়ে যদি একটা ফাংশন বানিয়ে ফেলি, অর্থাৎ একটার ওপর আরেকটা সুপারপোজ করি, তাহলে ফাংশনটা দাঁড়াবে
$$y = x-3x^2 – 0.5 x^3 + x^4.$$

এই হচ্ছে গিয়ে সুপারপজিশন। একটার ওপর আরেকটা ফেলে যোগ করে দেওয়া। ডান দিকে ডাব্লিউ-এর মত দেখতে কোয়ার্টিক ফাংশনটাই হল অন্য গুলোর লিনিয়ার সুপারপোজিশন, বা লিনিয়ার কম্বিনেশন।

বলুন দেখি, $y = \sin^2 x $ আর $y = \cos^2 x$ ফাংশনদুটোর সুপারপজিশনের গ্রাফটা কেমন হবে? নিঃসন্দেহে সবুজরঙের $y=1$ সরল রেখা!

এবার আসল কাজে আসা যাক। আমরা এখন বিভিন্ন ফ্রিকুয়েন্সির সাইনফাংশনকে ধরে ধরে সুপারপোজ করব। অর্থাৎ $k$’র বিভিন্ন ভ্যালুর জন্য $a \sin kx $ -এর লিনিয়ার কম্বিনেশন নেব। $a_1, a_2, \ldots, a_n$ হচ্ছে কোইফিশিয়েন্টস। আর $\sin x, \sin 2x, \ldots, \sin nx$ গুলো হচ্ছে বেসিস। যারা এর আগের পোস্টটা পড়েছেন, তারা নিশ্চয়ই বুঝতে পারছেন আমরা কী করতে যাচ্ছি। আমরা রুহান্রুহানদের স্পেসে ভেক্টর আঁকতে যাচ্ছি!

প্রথমে দশটা আলাদা আলাদা ফ্রিকুয়েন্সির সাইনওয়েভকে সুপারপোজ করলে কী পাওয়া যায় দ্যাখা যাকঃ

চমৎকার! উপরের ছবিটা জেনারেটেড হওয়ার ধাপ গুলো হচ্ছে এরকমঃ (এ্যানিমেশনটা চালু না হলে একটু অপেক্ষা করুন, লোড হয়ে নিক। )

আমরা আসলে এতখন ১০ ডাইমেনশনে ফুরিয়ার বেসিসে একটা ভেক্টর তৈরি করেছি। যেই ছবিটা এঁকেছি, সেটা কি একটা দশ-মাত্রিক ছবি? অবশ্যই না! তবে ছবির ফাংশনটা ফুরিয়ার স্পেসে একটা দশমাত্রিক বস্তু, বা ভদ্রভাষায়, ভেক্টর। দশ মাত্রার ঐ স্পেসে এরকম অসংখ্য বস্তু পাওয়া যাবে নিশ্চিত, এবং প্রতিটাই সাইনওয়েভের এই দশটা ফ্রিকুয়েন্সি দিয়ে জেনারেটেড হবে। যেমন আরেকটা দশমাত্রিক বস্তু হল এটাঃ

এবার বেসিস গুলোতে কোসাইন ফাংশন গুলোও নিয়ে আসি। সাইনের ৫টা আর কোসাইনের ৫টা ওয়েভের একটা যেমনখুশিতেমন-লিনিয়ার-কম্বিনেশনে কী আসতে পারে?

ওরে বাবা! হররমুভিটাইপের গ্রাফ চলে এসেছে। :/

সুতরাং দ্যাখা যাচ্ছে, বিভিন্ন ফ্রিকুয়েন্সির সাইন-কোসাইন ফাংশনের বিভিন্ন লিনিয়ার কম্বিনেশনে আমরা অদ্ভুত অদ্ভুত সব গ্রাফ পাচ্ছি।

অভিনন্দন! আপনি ফুরিয়ার সিরিজের ৯৫% ব্যাপার-স্যাপার বুঝে গেছেন! এতক্ষন আমরা যেসব ফাংশনের ছবি আঁকলাম, এই $\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{n} \sin nx, \ \sum_{n=1}^{10} \sin nx$ বা শেষ ছবির বেগুনি রঙের গ্রাফের ঐ সাইন-কোসাইন এর হররমুভি কম্বিনেশনটা – প্রতিটাই আসলে একেকটা ফুরিয়ার সিরিজ। আমরা ইনফাইনাইট সংখ্যক টার্ম নেইনি, প্রথমদিকের কয়েকটা টার্ম নিয়ে কাজ সেরেছি। এখন প্রশ্ন হল, ইনফাইনাইট সংখ্যক, বা অন্তত অনেক অনেক বেশি সংখ্যক টার্ম নিয়ে আমরা ফুরিয়ার সিরিজ দিয়ে এরকম কোন কোন ফাংশনের ছবি আঁকতে পারি? উত্তরঃ সব পিরিওডিক ফাংশনের! আমরা দু’একটা উদাহরন কোমর বেঁধে করব। তার আগে একটু সংজ্ঞা থেকে ঘুরে আসি।

বেগুনী রঙের হররমুভি ফাংশনটা আরেকবার দেখুনঃ
\begin{eqnarray}
&&0.3 \sin x + 0.3 \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x \sin 5x – \nonumber \\
&& 2.6 \cos x -2.6 \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x +\cos 5x. \nonumber \\
&=& a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx \nonumber
\\
&=& a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right) \nonumber \\
\end{eqnarray}

আগের পোস্টের ১ নম্বর সমীকরণে দেওয়া ফুরিয়ার সিরিজের ডেফিনিশনের সাথে এর কী কী পার্থক্য? একবার দেখে আসুনতো দেখি? নেট স্লো হলে আমিই বলে দিচ্ছি। কোন পার্থক্য নেই। এটা একজ্যাক্টলি ওই ডেফিনিশন। আমাদের বেগুনী রঙের ফাংশনের ক্ষেত্রে স্পেসিফিক ব্যাপার গুলো হচ্ছে,
\begin{eqnarray}
L = \pi, a_0 = 0, a_1 = 0.3 = a_2, a_3 = a_4 = a_5 = 1, a_n = 0 \ for \ n>5; \nonumber \\
b_1 = -2.6 =b_2, b_3 = b_4=b_5 = 1, b_n = 0 \ for \ n>5
\end{eqnarray}

বুদ্ধিমান পাঠক এতক্ষণে নিশ্চয়ই বুঝে গেছেন, একটা পিরিওডিক ফাংশন – সে অদ্ভুতুড়ে বা ভূতভূতুড়ে – যেমনই হোকনা কেন, তাকে এ্যাপ্রক্সিমেট করার জন্য ফুরিয়ার সিরিজ একটা খুবই শক্তিশালি অস্ত্র। জোসেফ ফুরিয়ার হীট ইকুয়েশনের সলিউশন বের করতে এরকম সাইন-কোসাইন ওয়েভের লিনিয়ার কম্বিনেশনের আইডিয়া দিয়েছিলেন এবং ফুরিয়ার সিরিজ জিনিসটা ফর্মালি জন্ম নিয়েছিল। তবে ফুরিয়ার এ্যানালিসিসের সব কিছু কিন্তু জোসেফ ফুরিয়ারের একার করা নয়। কিচ্ছু ভাবনা চিন্তা না করেই এরকম সিরিজ ব্যবহার করেছিলেন প্রাচীন গ্রীক এ্যাস্ট্রোনমারেরা তাঁদের দেওয়া গ্রহ-উপগ্রহের অরবিটের মডেল ব্যাখ্যা করতে। আমি ডিটেইল ক্যালকুলেশনটা করিনি। একসময় পড়ে লিখে রাখব দু’এক লাইন। কেউ জানতে চাইলে Ptolemy, Epicycle – এই শব্দ গুলো গুগল করে ফেলুন। চমৎকার কিছু এ্যানিমেশনও পেয়ে যাবেন। তো যাহোক,  ম্যাথম্যাটিকাল জায়ান্ট বলতে আমারা যাঁদের চিনি, সেসময় মোটামুটি তাঁদের সবাই এটা নিয়ে টানাহ্যাঁচড়া করেছেন। অয়লার, লাগ্রাঞ্জ, ডা’লম্বেয়ার্ট, গাউস, ডিরখলেট, রীমান, কাকে বাদ দেব? ফুরিয়ারের কন্ট্রিবিউশনটা সম্ভবত শুধু ঐ ক্লেইমটাতে, যে, পিসওয়াইজ ফাংশন গুলো বিভিন্ন ফ্রিকুয়েন্সির সাইন কোসাইনের লিনিয়ার সুপারপোজিশনে প্রকাশ করা যাবে।

এখনকার পৃথিবীর টেকনোলজির এই চরম উন্নতির পেছনে ফুরিয়ার এ্যানালিসিসের কন্ট্রিবিউশনের পরিমাণ ভয়ানক। টেকনোলজি যদি বাদও দেই, আমাদের প্রিয় মস্তিষ্কের অডিটরি সেকশন প্রতিমুহুর্তে ক্রমাগত ফুরিয়ার এ্যানালিসিস করে যাচ্ছে। গান শুনতে শুনতে একুয়ালাইজার দিয়ে সাউন্ডের বেস-ট্রেবল বাড়ানো-কমানো করছেন? আসলে ফুরিয়ার এনালিসিস করছেন। ফটোশপে ছবিকে ফিল্টার দিয়ে আর্ট বানিয়ে ফেলছেন? আসলে ফুরিয়ার এ্যানালিসিস করছেন। কোয়ান্টাম জগতে হাইজেনবার্গের আনসার্টেইন্টি প্রিন্সিপল কাজে লাগাচ্ছেন? আসলে ফুরিয়ার এ্যানালিসিস করছেন। বিশাল আকারের .wav ফরমেটের একটা গানের ফাইলকে পিচ্চি .mp3 ফাইল বানিয়ে ফেলছেন? আসলে ফুরিয়ার এ্যানালিসিস করছেন।

এ্যাপলিকেশন নিয়ে আরেকদিন লিখব। খুব যে ভাল জানি, তা না। তবে চেষ্টা করতে দোষ কী? এবার আগের পোস্টের ২,৩ আর ৪ নম্বর ইকুয়েশন থেকে $a_0, a_n, b_n$ এর দামড়া ইন্টিগ্রাল গুলোর দিকে তাকিয়ে ফুরিয়ার এ্যানালিসিসের প্রশংসা করতে করতে একটু ভাবুনতো ওগুলোকে কিভাবে কাজে লাগানো যায়?

আমি নায়ক রুহান্রুহানকে তার ইনফাইনাইট ডাইমেনশনাল ফুরিয়ার স্পেসে বিদায় করে শিঘ্রই ফিরছি।
: -)

Author: Galib Hassan

Mischief Managed.. 😉