Wigner’s Semicircle Law – ৩

আজকে প্রথমেই কথা বলবো ডিগ্রিস অফ ফ্রিডম নিয়ে। ধরুন, আপনি ত্রিমাত্রিক ডাইমেনশনে আছেন। এখন এই ত্রিমাত্রিক ডাইমেনশনে যখন আপনি একটা কণাকে চিহ্নিত করার চেষ্টা করবেন তখন তাকে কয়টা পয়েন্ট দিয়ে চিহ্নিত করবেন? অবশ্যই তিনটা। এভাবে আমরা তার বেগ, ভরবেগ ইত্যাদি বর্ণনা করতে পারি ভেক্টরের তিনটা কম্পোনেন্ট এর মাধ্যমে। এই যে, আমরা একটি সিস্টেম নিয়ে কথা বলছি, এটি একটি ডায়নামিকাল সিস্টেম। ডায়নামিকাল সিস্টেম কারণ এই সিস্টেমে কোনো কণা বা কণার এনসাম্বলের কোন একটা মূহুর্তের স্টেট সময়ের উপর নির্ভর করছে এবং সময়ের সাথে এদের পরিবর্তন আমরা কিছু ডিফারেন্সিয়াল ইকুয়েশনের মাধ্যমে বর্ণনা করতে পারি। কোন একটি মূহুর্তে কোন সিস্টেমের স্টেট ঐ সিস্টেমকে বর্ণনা করে এবং এই স্টেটগুলোকে আমরা ফেজ স্পেস [Phase Space] এর একটি ইউনিক পয়েন্ট দিয়ে নির্দেশ করি যা ঐ সিস্টেমকে সম্পূর্ণভাবে বর্ণনা করতে পারে। ফেজ স্পেস বা স্টেট স্পেস হলো একটি ডায়নামিকাল সিস্টেমের সব ধরনের স্টেট এর সেট। [হ্যামিলটোনিয়ান বা লাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্স নিয়ে যখন কথা বলবো তখন এর বর্ণনা আরেকটু ভালোভাবে দিব।] ফেজ স্পেস এর ডাইমেনশনকে আসলে আমরা ডিগ্রিস অফ ফ্রিডম বলছি। এখন ৩ ডাইমেনশনে একটি কণাকে যদি আমরা ৩টি বিন্দু বা কোওর্ডিনেট দিয়ে চিহ্নিত করি, তাহলে $N$ টা কণাকে চিহ্নিত করতে আমাদের $3N$ কোওর্ডিনেট দরকার হবে।তাহলে ৩ ডাইমেনশনে ২টি কণার ডিগ্রিস অফ ফ্রিডম হবে ৬। [অনেক বেশি কথা বলার দরকার হয়ে গেলো, দুঃখিত যদি আপনারা বিরক্ত হয়ে যান]

এত কথা বলার কারণ ছিলো, র‍্যান্ডম মেট্রিক্স থিওরিতে আমরা কোন জটিল সিস্টেমের মাইক্রোস্কপিক ডিগ্রিস অফ ফ্রিডমগুলো এড়াতে সক্ষম হই যেহেতু আমরা এই সিস্টেমের হ্যামিলটোনিয়ানের ব্যাপারে কিছু স্ট্যাটিস্টিক্যাল অনুমান করে নেই যেই ব্যাপারে আমি আগের পোস্টে বলেছি। এখন অনেক বড় কমপ্লেক্স সিস্টেমগুলো বেশিরভাগ সময়ই একটি ইউনিভার্সাল ধর্ম প্রদর্শন করে। উদাহরণ হিসেবে বলা যেতে পারে, সেন্ট্রাল লিমিট থিওরেম [Central Limit Theorem] এর কথা। এই থিওরেম আমাদের বলে যে, যদি আমাদের কাছে কোন স্ট্যাটিসটিকাল পপুলেশন থাকে যার একটি নির্দিষ্ট গড় ও আদর্শ বিচ্যুতি আছে এবং আমরা যদি ঐ পপুলেশন থেকে র‍্যান্ডমলি বিভিন্ন স্যাম্পল নেই এবং এই স্যাম্পলের সংখ্যা যদি অনেক বড় হয়, তাহলে ঐ স্যাম্পলগুলোর গড় হবে ঐ পপুলেশনের গড় এবং স্যাম্পলের আদর্শ বিচ্যুতি হবে ঐ পপুলেশনের আদর্শ বিচ্যুতি। অর্থাৎ স্যাম্পলের সাইজ $n$ যখন যথেষ্ট পরিমাণ বড় হবে তখন স্যাম্পলের গড় একটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন দিবে। 

উইগনার নিউক্লিয়াসের এনার্জি লেভেলের ব্যাপারে বলেন যে, নিউক্লিয়াসে এনার্জি লেভেলগুলোর [ একটা রিস্কেলিং করার পর; অর্থাৎ এনার্জি লেভেলগুলোকে আমরা রিস্কেলিং করব এনার্জি আইগেনভ্যালুর ঘনত্ব দ্বারা, গাণিতিকভাবে যদি উপস্থাপন করি তাহলে $\bar{E_j}= \rho E_j]$ ব্যবধান [একের পর এক এনার্জি লেভেল] একটি ইউনিভার্সাল ধর্ম প্রদর্শন করে। তিনি এই ব্যাপারে একটি ল’ প্রেডিক্ট করেন যাকে বলা হয় উইগনার’স সারমাইজ [ Wigner’s Surmise]।

র‍্যান্ডম ম্যাট্রিক্স এনসাম্বল উইগনারের এই হাইপোথিসিস প্রমাণ করে। আমরা যদি কোন গাউসিয়ান সিমেট্রিক মেট্রিক্স নেই [যেমনটি বলেছিলাম আগের পোস্টে], তাহলে তাদের আইগেনভ্যালুর ঘনত্ব একটি ইউনিভার্সেল ধর্ম প্রদর্শন করবে, যাকে আমরা বলি, উইগনার’স সেমিসারকেল ল’; এটি আমাদের বলছে যে, এই যে আইগেনভ্যালুর ঘনত্ব যে স্ট্যাটিসটিক্স অনুসরণ করছে তা মোটেও ঐ ম্যাট্রিক্সের র‍্যান্ডম উপাদানগুলোর উপর নির্ভর করছে না, ঠিক উইগনার যা বলেছেন নিউক্লিয়াসের এনার্জি লেভেলের ব্যাপারে।  যাক, আমার গন্তব্যে পৌঁছে গিয়েছি। সেমিসারকেল ল’ এই নামটা এইজন্যই হয়েছে কারণ আমরা যদি একটি সিমেট্রিক মেট্রিক্স নেই, যার ডায়াগনাল উপাদানগুলো একই ডিস্ট্রিবিউশন মেনে চলবে এবং বাকি উপাদানগুলোর গড় হবে শুণ্য ও তাদের আদর্শ বিচ্যুতি [Mean Squared Deviation] সমান হবে, তাহলে আইগেনভ্যালুর ঘনত্বের ডিস্ট্রিবিউশন আমাদের একটি সেমিসারকেলের ডিস্ট্রিবিউশন দিবে। আপনাদের সুবিধার জন্য উইকিপিডিয়া থেকে একটি ছবিও জুড়ে দিলাম।

এই ল’টা খুব সুন্দর ভাবে প্রমাণ করা যায় এবং এর একাধিক প্রমাণও রয়েছে, তবে সেই প্রমাণ আর দেখাবো না এখানে, তাছাড়া আমি অনেক ডিটেলস লিখি নাই, লিখতে গেলে অনেক লিখতে হবে। আপনারা গুগল করলেও অনেক কিছু পেয়ে যাবেন। তবে, সময় পেলে প্রমাণটাও এখানে লেখার চেষ্টা করব।

নাফিসা রায়হানা
Author: নাফিসা রায়হানা

Be less curious about people and more curious about ideas-- Marie Curie.

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/nafisa-raihana/4981/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading