গণিত এমন একটি বিষয় যা নিয়ে অনেক মজার সমস্যা তৈরি করা যায় যার বাস্তবতা , কল্পনাকেও হার মানায় ।  অবশ্য আজকে যা কল্পনা , আগামী দিনে তা বর্তমান । তবে এই কল্পনা আর বাস্তবতা মধ্যে দীর্ঘ কাল ধরে গণিতই সমন্বয় করে আসছে ।  তা হলে  প্রথমে জেনে নিয়া যাক এমনি একটি সমস্যা “কাগজ ভাঁজ করার সমস্যা” ( Paper Folding Problem ) । যা গত কয়েক দশক ধরে কেউ ভাবেনি ।  যা শুধুমাত্র ধারনা ছিল তার এখন গানিতিক রুপ ও  আছে । এখন এর পিছনের গল্প এখন জানবো ।

কাগজ ভাঁজ করার গানিতিক সুবিধা

প্রথমে একটা প্রশ্ন দিয়ে শুরু করি । একটা কাগজকে ঠিক কত ভাঁজ করলে চাদে যাওয়া যাবে ?

প্রশ্ন টা শুনে কি অবাক হয়েছেন নিশ্চয় ।  হয়ত ভাবছেন ” পুরন পাগল ভাত পায় না নতুন পাগলের আমদানি “, অবশ্য আপনি অবাক না হলে আমিই অবাক হব । কারন  চাঁদকে যতই নিজেদের কাছে ভাবি না কেন সেটা আমদের থেকে অনেক বেশি দূরে এবং তা প্রায় ৩৮৪,০০০ কিলোমিটার !!!
এখন জানতে হবে সাধারনত একটা কাগজের পুরুত কতটুকু । যখন আমরা এক রিম কাগজ ( ৫০০ পিস ) দেখি তা প্রায় ২ ইঞ্চি এর মত উচু হয় । আর সঠিক ভাবে বলতে গেলে একটা কাগজ ০.০১ সেন্টিমিটার পুরু হয় ।

তার অর্থ দাঁড়াচ্ছে এই পরিমান জায়গা পুরন করতে আপনাকে 3.84 x 10¹²  টি পেজের দরকার পরবে !  এখন আপনার মনে নিশ্চয় প্রশ্ন জেগেছে একটা ০.০১ সেন্টিমিটার

কাগজকে ভাঁজ করলে কত টুকুই বা বাড়তে পারে তাই না ?

প্রথমে ভাঁজ করার পদ্ধতি সম্পর্কে বলি । একটা কাগজকে ঠিক মাঝ বরাবর ভাঁজ করলে একটা কাগজের পুরুত দ্বিগুণ বাড়ে । কিন্তু ২য় ভাঁজ করলেই তা ৪ গুণ বৃদ্ধি পায় ।  এই ভাবে করতে থাকলে ৪থ ভাঁজে এটা ১৬ টা পেজের মত মোটা হবে । ৯ম ভাঁজে গিয়ে এটা একটা রিমের চেয়ে বেশি মোটা হয়ে যাবে ।  এই ভাবে ভাঁজ করতে থাকেলে ২০তম ভাঁজে এসে তা ১০ কিলোমিটার এর চেয়ে বড় হবে । এই ভাবে ৪২ তম তে যেয়ে এটা চাঁদের থাকেও বেশি দূরত্বে চলে যাবে !!! এই কথাটা বাস্তবিক না মনে হলেও গানিতক ভাবে সত্য !  একে বলে exponential function এর ক্ষমতা । তবে সবচেয়ে মজার তথ্য টা হল আমরা একটা কাগজ কে মাত্র ৯২ বার ভাঁজ করতে পারলেই মহাবিশ্বের আয়তন ছাড়ায় যাব !

কাগজ ভাঁজ করার বাস্তবিক সমস্যা

বছরের পর বছর একটা কথা প্রচালন ছিল যে, একটা কাগজকে মাঝ বরাবর যদি ভাঁজ করেতে থাকতে হয় তা কখনো ৭/৮ বারের ভাঁজের বেশি করা সম্ভব না ।  কিন্তু ২০০২ সালে Britney Crystal Gallivan দেখান একটা কাগজকে ১২ ভাঁজে ভাঁজ করা সম্ভব ।  তবে তিনি ৪০০০ ফুট ( ১২০০ মিটার ) লম্বা toilet paper ব্যবহার করেন ভাঁজ করার জন্য ।  কিন্তু তখনও পর্যন্ত সবার বিশ্বাস ছিল ৮ বারে বেশি কোন কাগজকে ভাঁজ সম্ভব নয় ।  তিনি আরও একটা প্রয়োজনীয় আবিষ্কার করেন যে , কাগজকে বিভিন্ন দিকে ভাঁজ করার থাকে একদিকে ভাঁজ করে গেলে কম আয়তন হয়  যার ফলে ভাঁজ করতে সুবিধা হয় । তিনি শুধু করেই দেখায় থেমে থাকেননি , এর জন্য সমীকরণ ও দিয়েছেন ।

Britney Gallivan ১১ ভাঁজ করার পরে

কাগজ ভাঁজ করার  সমীকরণ

কাগজের পুরুত W ( বিভিন্ন দিকে ভাঁজ করে )

একই দিকে ভাঁজ করে লম্বা কোন কাগজের দৈঘ্য L

এখানে t  কাগজের পুরুত,  W  কাগজের পুরুত ভাঁজ করার পরে, L লম্বা কাগজের দৈঘ্য ( এক দিক থাকে ভাঁজ করার জন্য ) এবং n যত গুলো ভাঁজ করার ইচ্ছা আছে । এই সমীকরণ থাকে আর একটা তথ্য পাই । কাগজকে তখনি ভাঁজ করা সম্ভব হবে যখন এটা   গুনন বেশি লম্বা হবে এর পুরুত থাকে । এই ভাবে প্রতি ভাঁজের পরে এটার  দৈঘ্য কমতে থাকে ।  এটাই মুলত সুভঙ্করের ফাঁকি ।

Diagram থাকে দেখা যাচ্ছে কিছু পরিমান দৈঘ্য প্রতিবারে কমে যাচ্ছে

কাগজ ভাঁজ করার  বিশ্ব রেকর্ড

Britney Gallivan এর দেখানো পথে অনেকে চেষ্টা করেছে ।  তবে দীর্ঘ ৭ বছর চেষ্টার পরে ৪ ডিসেম্বার, ২০১১ সালে MIT তে St. Mark স্কুলের গণিত বিভাগের ছাত্ররা MIT এর শিক্ষক James Tanton এর নেতৃত্বে MIT এর  Infinite Hallway তে Britney Gallivan এর ১২ টি ভাঁজের রেকর্ডটা ভাঙ্গে ।

তারা নতুন রেকর্ড হিসেবে ১৩ টা ভাঁজ করতে সমর্থ হয় । তবে এই একটা ভাঁজ বাড়াতে তাদেরকে ৫০০০০ ফিট লম্বা toilet paper ব্যবহার করতে হইয়েছে । যেহেতু এত বড় কাগজ পাওয়া সম্ভব নয় তাই তারা প্রথমে একটির উপর আরেকটি রেখে ৬৪ টা layers তৈরি করে । তারপরে তারা কর্নার থাকে আঠা দিয়ে জোড়া লাগিয়ে সেটাকে ৬ টা ভাঁজে পরিণত করে ।  এর পরে ওটাকে একই দিকে ভাঁজ দিতে থাকে । ১৩ ভাঁজ করার পরে এটা মোট ৮১৯২ layers হয় যা ১.৫ মিটার প্রস্থে ও ৭৬ সেন্টিমিটার উচু হয় ।

আপনারা চাইলে এই রেকর্ডটি করার সময় ভিডিও টা দেখতে পারেন

এই লিংক থেকে

সবচেয়ে মজার তথ্যটি সবচেয়ে পরে দিচ্ছি সেটা হল , Britney Crystal Gallivan কিন্তু একজন Graduate করেছেন University of California, Berkeley এর Environmental Science থাকে এবং রেকর্ড ভাঙ্গার জন্য মাত্র 87.5$ ব্যায় হয়েছিল । কিন্তু তিনি কয়েক দশকের একটা গানিতিক সমসার সমাধান দিয়েছেন ।  তাই গণিতবিদরাই যে শুধু  কয়েক দশকের গানিতিক সমস্যা সমাধান দিবেন এমন না ।  তাই আপনি যে সমসায় থাকুন না কেন গণিতকে আপনি কাজে লাগাতে পারেন ।

Author: ইমরান আহমেদ

সপ্নে বিভোর... বাস্তবে ব্যস্ততা... পরাবাস্তবে দোলাচল... এই তো জীবন... বয়ে চলে অবিচল...