প্রস্নঃ একটি বইয়ের পরপর কয়েকটি পৃষ্ঠা নেই,পৃষ্ঠা গুলোর যোগফল 472, ঐ বইয়ে কতটি পৃষ্ঠা নেই?

প্রশ্নটা পড়ে অনেক সহজ মনে হচ্ছে। কিন্তু এটা নিয়ে আমি কদিন ধরে চিন্তা করছি। জানি না কেন। হয়ত আমি অঙ্কে এখনও তেমন পাকা নই দেখে করতে পারছি না। কিন্তু এই ঘাঁটাঘাঁটির মধ্যে কিছু জিনিস বের হয়ে গেছে। চলুন একটু দেখি কি বের করতে পারলাম।

১। , এরকম অঙ্কগুলো করতে গেলে কমপক্ষে ২ টুকরো ইনফরমেশন লাগে। প্রশ্ন থেকে বুঝতে হবে, পৃষ্ঠাগুলো একটি সমান্তর ধাঁরা মেনে চলে। এবং এর একটা ফর্মুলার ফলাফল 472। পেয়ে গেলাম ২ টুকরো ইনফরমেশন।

তাহলে দেখি, এটা নিয়ে কিভাবে খেলতে পারি।

আমরা জানি,

Sn=(n/2)*{2a+(n-1)d} এখানে d = 1

মনে করি বইয়ের প্রথম পৃষ্ঠা থেকে পরপর কিছু পাতা নেই, এক্ষেত্রে a = 1। কাউকে অবশ্যয় বলে দিতে হবে না যে convention অনুযায়ী যেকোনো বই ১ নং পৃষ্ঠা থেকে শুরু হয়, এবং ১ নং পৃষ্ঠা ছিড়ে ফেললে ২ নং পৃষ্ঠা এমনিতেই ছিড়ে যাবে। এখানে পরলাম আরও বিপদে। মানে যে পাতাগুলো ছিড়ে গেছে, সেগুলো বিজোড় সংখ্যা দিয়ে শুরু হবে জোড় সংখ্যা দিয়ে শেষ। n এর মান জোড় বিজোড় হলে আমাদের কোন সমস্যা নেই।

(n/2)*{2a+(n-1)d}=472

Putting a = 1,
(n/2)*{2+(n-1)}=472
n(n + 1) – 944 = 0

শুরু হল বিপদ। এটাকে n e N ধরে Factor করা যায় না।

কিভাবে এগোনো যায়? শুরু করি ৯৪৪ কে ফ্যাক্টর করা।

৯৪৪ = ২*২*২*২*৫৯, পরলাম আরও বিপদে, বড় এক খান Prime Number বাবাজী বের হয়ে এসেছেন। জানি এটার সঙ্গে এই প্রবলেম এর সম্পৃক্ততা নেই। কিন্তু সতর্ক থাকা ভাল।

এক কাজ করি, ৫৯-১৬=৪৩, যদি 43n পাই, তাহলে ফ্যাক্টর করা যাবে। Back Substitution করে Recursive নিয়মে এগোই।
n^2 + 43n – 944 = 0
n(n + 44 – 1) – 944 = 0
Sn=(n/2)*{2a+(n-1)d}

2a = 44 or a = 22

এখানেও সমস্যা, a বিজোড় হতে হবে।

তাহলে আমাদের কম্বিনেশন হতে পারে এগুলোঃ

2,4,8,16,59 থেকে দুটো করে নিয়ে একটা পসিবল সল্যুশন বের করা। একটা + অপরটি – হতেই হবে, নাহলে +- = – কনভেনশন মিলবে না।

১১৮-৮=১১০, 110n এর জন্যে a = 111/2 not an element of N

২৩৬-৪=২৩২, 232n এর জন্যে a = 233/2 not an element of N

৪৭২-২=৪৭০, 470n এর জন্যে a = 471/2 not an element of N

সুতরাং একমাত্র সল্যুশন যেটা পাচ্ছি, সেটাই ঠিক ধরে নেব। সেক্ষেত্রে আমাদের ‘conventional treatment of this problem’ খাটবে না।

আমার মতে, বইয়ের পাতা যদি ২ দিয়ে শুরু হয়, তবেই এটা সম্ভব। কিন্তু এটা আমি নিশ্চিত না, কেন ২ নং পাতা থেকে বই শুরু হবে। Wikipedia তে Numbering Convention থেকেই শুরু হয় বলে দিয়েছে।

কেউ করতে পারলে দয়া করে বলে দেবেন। আমি জানি এখানে অনেকেই অনেক ভাল অঙ্ক করতে পারেন, কিন্তু সময়ের অভাবে লিখতে পারেন না। পাগলের প্রলাপ মনে করে গালাগালি করলেও খুশি হব।

ধন্যবাদ। পরবর্তীতে আরও লেখার ইচ্ছা রইল।

Author: Awnon Bhowmik

I know very little to be proud about it. Mathematics enthusiast, possess a lust for mathematical/computational knowledge