ফাইনম্যান ইন্টিগ্রেশন

আমরা যখন ইন্টিগ্রেশন শেখা শুরু করি, তখন মোটামুটি এমন একটা প্যাটার্নে শিখি…

রাইম্যান ইন্টিগ্রেশন – যেভাবে ইন্টিগ্রেশন অপারেটরের সংজ্ঞাটা আসে।
ইন্টিগ্রেশনের প্রথম এবং দ্বিতীয় মৌলিক সুত্র
Power Rule
Substitution
Integration By Parts

কিন্তু এখানেই কিন্তু ইন্টিগ্রেশনের দুনিয়া শেষ হয় না, বরং এটা ক্যালকুলাস এর খুবই বড় একটা ভাগ। যেকোনো ক্যালকুলাস বই কিনলে ভেতরের অর্ধেক থাকে ডিফারেন্সিয়াল এবং অর্ধেক ইন্টেগ্রাল ক্যালকুলাস। কিন্তু অনেক বইতে এই ফাইনম্যান ইন্টিগ্রেশনের কথাটা থাকে না। এটা নিয়ে আজকে কয়েকটা অঙ্ক দেখব।

ইন্টিগ্রেশন গুলো করার আগে শুধু দুটো ব্যাপার মনে রাখতে হবে।

ইন্টিগ্রালের মান গুলো ফাইনাইট হতে হবে
ইন্টিগ্র্যাল গুলো ডেফিনিট হতে হবে। ইন্টিগ্রালের একটা থাকতে হবে, নাহলে ধ্রুবক এর মান বের করা যাবে না।

Q. Prove that $$\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^7-1}{\ln x}\,\mathrm dx=\ln 8$$

Solution:

প্রথমে ধরে নিচ্ছি $$I(n)=\int_0^1\dfrac{x^n-1}{\ln x}\,\mathrm dx$$

এখন দুদিকে ডিফারেন্সিয়েট করব…

$$\begin{align}\notag I'(n)&=\int_0^1\dfrac{x^n\ln x}{\ln x}\,\mathrm dx\\\notag &=\int_0^1 x^n\,\mathrm dx\\\notag &=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\bigg|_0^1\\\notag &=\dfrac1{n+1}\\ \text{Integrating }&\notag \text{both sides with respect to }n\\\notag I(n)&=\ln(n+1)+C\\\notag \text{At }&n=0,I(n)=0\\ \notag 0&=\ln(0+1)+C\\\notag C&=0\\\notag I(n)&=\ln(n+1)\\\notag I(7)&=\int_0^1\dfrac{x^7-1}{\ln x}=\ln 8\end{align}$$

Q. Prove that $$\displaystyle \int_0^\infty\dfrac{\sin x}x=\dfrac\pi2$$

Solution: এই ইন্টেগ্রাল কে বলা হয় Dirichlet Integral। এটা করার নিয়মও একইরকম। ধরে নেব $$I(s)=\int_0^\infty\dfrac{e^{-sx}\sin x}x\,\mathrm dx$$

এখানেও প্রথমেই দুদিকে ডিফারেন্সিয়েট করব…

$$\begin{align}\notag I'(s)&=-\int_0^\infty\dfrac{e^{-sx}\sin x\cdot x}{x}\,\mathrm dx\\\notag &=-\int_0^\infty e^{-sx}\sin x\,\mathrm dx\end{align}$$

আমি জানি এখন এই ইন্টিগ্রালটা সবাই Integration By Parts দিয়ে করতে পারবে। তাই আমি একটু অন্য নিয়মে করব। প্রথমটা সরাসরি ট্রান্সফরমেশন ব্যাবহার করব, আর অন্যটায় ব্যাবহার করব D-Operator.

$$\notag\begin{equation}\begin{split}\notag I(s)&=\int_0^\infty\dfrac{e^{-sx}\sin x}x\,\mathrm dx\\\notag I'(s)&=-\int_0^\infty e^{-sx}\sin x\,\mathrm dx\\\notag &=-\mathcal{L}(\sin x)\\\notag &=-\dfrac1{s^2+1}\\\notag I(s)&=-\arctan s+C\\\notag\text{At }&s=0,I(s)=0\\\notag 0&=-\dfrac\pi2+C\\\notag C&=\dfrac\pi2\\\notag \int_0^\infty\dfrac{\sin x}x\,\mathrm dx&=\dfrac\pi2\end{split}\qquad\begin{split}\notag I(s)&=\int_0^\infty\dfrac{e^{-sx}\sin x}x\,\mathrm dx\\\notag I'(s)&=-\int_0^\infty e^{-sx}\sin x\,\mathrm dx\\\notag &=-\dfrac1D(e^{-sx}\sin x)\\\notag &=-e^{-sx}\dfrac1{D-s}(\sin x)\\\notag &=e^{-sx}\dfrac{s+D}{s^2-D^2}(\sin x)\\\notag &=e^{-sx}\dfrac{s+D}{s^2+1}(\sin x)\\\notag &=e^{-sx}\dfrac{s\sin x+\cos x}{s^2+1}\bigg|_0^\infty\\\notag &=-\dfrac1{s^2+1}\\\notag I(s)&=-\arctan s+C\\\notag I(\infty)&=0\\\notag 0&=-\dfrac\pi2+C\implies C=\dfrac\pi2\\\notag I(0)&=\int_0^\infty\dfrac{\sin x}x\,\mathrm dx=\dfrac\pi2\end{split}\end{equation}$$

আজকে এতোটুকই লিখলাম। লেখা পড়ে কেউ উপকৃত হলে ভালো লাগবে।