নতুন ও পুরানো অঙ্ক এবং একটু মজা – ৩ – বর্গমূল

সারা সপ্তাহ ক্লাস করে উইকেন্ড পেলাম। আবার মনে পড়ল আমি এখানে লেখালেখি করি। দেখি আজকে কি লেখা যায়। মনে হয় না তেমন ভাল কিছু যোগাড় করতে পেরেছি। সবাই পড়লে খুশি হব।

Q. A digital clock shows 2:35. This is the first time after midnight when all three digits are different prime numbers. What is the last time before noon when all three digits on the clock are different prime numbers?

ঘড়িতে ২:৩৫ বাজে। রাত ১২ টার পরের সময় এটা। বের করতে বলা হয়েছে, দুপুর ১২ টার আগে কখন শেষ আমরা একটা সময় পাব, যেখানে সবই ভিন্ন প্রাইম নাম্বার। সোজা হিসাব, করে ফেলি। দুপুর বারোটার আগে, প্রাইম নাম্বার দেয়া ঘণ্টা হচ্ছে ১১ টা। কিন্তু ২:৩৫ এর মতন ৩ অঙ্ক বের করতে বলা হয়েছে।

আমাদের চিন্তা করতে হবে এই সেট টা নিয়ে
{১, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯}

প্রথমে বসবে ৭। বের করতে হবে শেষ প্রাইম নাম্বার টা। এমনিতে হয়ত ১২:৫৯ লিখলেই হয়ে যেত, কিন্তু ৫৯ প্রাইম নাম্বার হলেও, ৫ প্রাইম নাম্বার, কিন্তু ৯ তো প্রাইম নয়। এভাবে হবে না। অন্য সিস্টেম এ যাই।

দেখতে পাচ্ছি যদি ৫৩ বসাই, তাহলে ভিন্ন প্রাইম নাম্বার পাই। তাহলে সময়টা হবে ৭:৫৩।

Q. এমন কয়টি ২ অংকের সংখ্যা ab আছে যেন ab+ba+5(a+b) একটি পূর্ণবর্গ হয় । (a b প্রত্যেকে সংখ্যাটির এক একটি অংক [Position] নির্দেশ করছে এবং a=b হতে পারবে না।)

এটা সোজা জিনিস। বেশি চিন্তা করে লাভ নাই। প্রতি টা পজিশন এ {০-৯} এর মধ্যে কিছু একটা বসবে। তাহলে যদি a/=b হয়, মিনিমাম সংখ্যা হবে ১+০ = ১০ [পজিশন বোঝাচ্ছি] এবং ম্যাক্সিমাম সংখ্যা হবে ৯+৮=১৭।

১^২ = ১
২^২ = ৪
৩^২ = ৯
৪^২ = ১৬

আর এগোনোর দরকার নেই। কারন ১৭<১৬।
বোঝা যাচ্ছে না? না গেলে আর একটু ধৈর্য ধরতে হবে।
দুটো বর্গ সংখ্যার গুণফলও বর্গ সংখ্যা।

1<a+b<17

এখান থেকে পাই
a+b=1
a+b=4
a+b=9
a+b=16

যখন a+b = 1, তখন ১ ভাবে লেখা যায় 1+0 = 10, [0+1 নেয়া যাবে না, ২ অঙ্কের সংখ্যা চাওয়া হয়েছে।]
যখন a+b = 4, তখন ৩ ভাবে লেখা যায় 1+3 = 13, 3+1 = 31, 4+0 = 40
যখন a+b = 9, তখন ৯ ভাবে লেখা যায় 1+8 = 18, 2+7 = 27, 3+6 = 36, 4+5 = 45, 5+4 = 54, 6+3 = 63, 7+2 = 72, 8+1 = 81, 9+0 = 90
যখন a+b = 16, তখন ২ ভাবে লেখা যায় 7+9 = 16, 9+7 = 16

সুতরাং, মোট ১৫ টি এমন সংখ্যা আছে, যা উপরে বর্ণিত ঘটনার ব্যাখ্যা করে।

Q. Let Q_>0 be the set of positive rational numbers. Let f : Q –> R be a function satisfying the following three conditions:

(i) for all x; y Q_>0, we have f(x)f(y)≥f(xy);
(ii) for all x; y Q_>0, we have f(x + y)≥f(x) + f(y);
(iii) there exists a rational number a > 1 such that f(a) = a.

Prove that f(x) = x for all x Q_>0.

দেখা যাচ্ছে ৩ নং কন্ডিশনটা আমাদের f(x) = x এর দিকেই নির্দেশ করছে।

ধরে নেই f(x + y) = x + y, তাহলে যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যা বসালে satisfy করবে। যেমন f(2+3)≥2+3 or f(x)+f(y)………………………….. [using (iii)]

একই ভাবে ১ নং কন্ডিশন এর জন্যে, f(x)f(y) > f(xy), কমন সেন্স, কারন ২টাই increasing function। পজিটিভ র‍্যাশনাল নাম্বার বলা হয়েছে। [চেক করে দেখতে পারেন, ভুল হলে বলবেন]

f(x)f(y) = f(2)f(3) = 2.3 = 6
এভাবে বোঝা যাবে না। গ্রাফ এঁকে যদি দেখি, তাহলে {২,৩} পয়েন্ট প্লট করলে, একটা আয়তক্ষেত্র পাওয়া যাবে। [{০,০},{২,০},{২,৩},{০,৩}] [এটা বুঝতে ভিসুয়াল কনসেপ্ট চিন্তা করতে হবে, অনেকটা ভেক্টর এর মতন।]

Cauchy discovered before 1821 that a function satisfying the equation
ƒ(x)+ƒ (y) =f(x + y)
is either continuous or totally discontinuous.

তাহলে এই সিস্টেম কাজ করবে যদি f(x) = x এবং f(y) = y হয়।

Q. Let n≥3 be an integer, and consider a circle with n + 1 equally spaced points marked on it. Consider all labellings of these points with the numbers 0,1,……….,n such that each label is used exactly once; two such labellings are considered to be the same if one can be obtained from the other by a rotation of the circle. A labelling is called beautiful if, for any four labels a < b < c < d with a + d = b + c, the chord joining the points labelled a and d does not intersect the chord joining the points labelled b and c. Let M be the number of beautiful labellings, and let N be the number of ordered pairs (x; y) of positive integers such that x + y n and gcd(x; y) = 1. Prove that M = N + 1:

আমি করে দেখেছি। এটা মিলে। আর লিখতে ইচ্ছা করছে না। অনেক কাটাকাটি করে করেছি। এটা দেখে নাও।