আমাকে অনেকেই অনেকদিন ধরে একটা লেখা দিতে বলেছে এখানে। ভর্তির কাজের চাপে, এবং অন্যান্য দায়বদ্ধতার কারনে আর লেখা হয়ে উঠে না। খুব তাড়াতাড়ি ক্লাস শুরু হবে। তখন হয়ত একদম ব্যস্ত হয়ে যাব যে আর লেখা হবে না। ভাই বোনেরা মাফ করে দিয়ো।

আজকে তেমন কোন নতুন জিনিস নিয়ে লেকচার দেব না। পুরানো অঙ্ক নিয়ে একটু ঘাটাঘাটি করব। তাহলে শুরু করি। কদিন আগে Math Olympiad কিছু এর প্রশ্ন পেলাম, করতে করতে নেশা ধরে গেল। তারই কিছু নিয়ে আজকে একটু লিখব। খালি এটুকুই বুঝতে পারলাম, যে অঙ্ক এখন আমি দেখেই বুঝতে পারছি এটা কি করতে হবে, কপাল খারাপ হওয়ায় ইউনিভার্সিটি তে থাকতে অনেক কিছুই মুখস্ত করতে হয়েছে। এই লেখা থেকে আমার একটাই চাওয়া, মুখস্ত বিদ্যাটা যেন কমে আসে। এ থেকে জীবনে কিচ্ছু হবে না।

১। if a,b,c are positive numbers, then prove that (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

we know
(a-b)² ≥0 [অনেকে জিজ্ঞেস করতে পারো + কেন নিলাম না?,  কারন এছাড়া 4ab আনা সম্ভব না।]
a²-2ab+b² ≥ 0
a²+2ab+b² ≥ 4ab
(a+b)² ≥ 4ab
a+b ≥ 2√ab………….(i)

similarly, we can write
b+c ≥ 2√bc………….(ii)
c+a ≥ 2√ca………….(iii)

multiplying (i), (ii) and (iii) we obtain
(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc

[proved]

২। 1 থেকে 100 পর্যন্ত পাশাপাশি লিখলাম 123456…..99100 এখান থেকে 100 টি অংক কাঁটা হল । সংখ্যাটা সর্বোচ্চ কত হতে পারে। অঙ্ক বলতে এখানে digits বোঝান হয়েছে।

1-10 = 11 digits

11-20 = 20 digits
21-30 = 20
31-40 = 20
41-50 = 20
51-60 = 20
61-70 = 20
71-80 = 20
81-90 = 20
91-100 =21

total digits = 11+8*20+21=192
if we seek the largest number, we cut the first 100 numbers starting from left. So we are left with 192-100=92 digits
[সবচেয়ে বড় সংখ্যা পাওয়ার জন্যে বাদিকের সংখ্যাগুলো কেটে দিতে হবে।]
now, counting from the bottom,
21+3*20 = 81
81 + 5*2 = 91 (suppose start from 55)
but we need one more digit, it must be 54, but we have taken away the first 100 digits. (this includes the 5, please check) 

Hence we are left with 4555657……………………..9899100

৩। calculate lim_n→∞ sin(3n)/n²

we know
-1<=sin(3n)<=1
or, -1/n² <= sin(3n)/n² <= 1/n²

lim_n→∞ -1/n² = lim_n→∞ 1/n² = 0
Hence
lim_n→∞ sin(3n)/n² = 0 [By the Sandwich/Squeeze/Pinching Theorem]

৪। Given tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = pi/2, find the value of xy + yz + zx

tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = pi/2
tan-1 x + tan^-1 y = pi/2 – tan^-1 z

take tan of both sides

tan (A+B) = (tan A + tan B)/1-tan A tan B
x + y/ 1 – xy = tan (pi/2 – tan^-1 z)
(x + y)/ (1 – xy) = 1/z
xz + yz = 1 – xy
xy + yz + zx = 1

৫। 72 কে কয়টি ক্রমিক সংখ্যার সমষ্টি হিসেবে লিখা যায় ?

Procedure.

Let x + (x+1) + (x+2) + ……….. + (x+n-1) = 72

By the summation formula of arithmetic progression

Sn = n/2 * (2x + n – 1)

n/2 * (2x + n – 1) = 72

2nx + n^2 – n = 144

2nx = 144 – n^2 + n

x = 72/n – n/2 + 1/2

now, we cannot put n = 2, the number cannot be halved to provide the correct answer [২ দিয়ে ভাগ করে লাভ নেই। ক্রমিক সংখ্যা বলা হয়েছে।]

we know, 72 has a factor 3

putting n = 3;
x = 72/3 – 3/2 + 1/2 = 23

hence {23,24,25} is a set

putting n = 9; [৩ দিয়ে করলে যেহেতু একটা সমাধান পাচ্ছি, এর গুনিতক বসিয়ে আরেকটা চেস্টা করতেই পারি।]
x = 72/9 – 9/2 + 1/2 = 8 – 4.5 + 0.5 = 4

hence {4,5,6,7,8,9,10,11,12} is a set

there are no other possibilities since 72 = 2^3 * 3^2

৬। 472 কে কয়টি ক্রমিক সংখ্যার সমষ্টি হিসেবে লিখা যায় ?

using the Summation formula of Arithmetic Progression, we have

Sn = n/2 * (2x + n – 1)
472 = n/2 * (2x + n – 1)
2nx + n^2 – n = 944
2nx = 944 – n^2 + n
x = 472/n – n/2 + 1/2

now 472 = 2^3*59
59 is prime, and 472 does not have 3 as a factor

putting n = 2 isn’t appropriate (check it!)
putting n = 59;

x = 8 – 29.5 + 0.5 [ঋণাত্মক চলে আসে, সুতরাং এটা দিয়ে হবে না।]

This logic follows an axiom, a number in every n consecutive number is completely divisible by n. [প্রত্যেকটি n সংখ্যক ক্রমিক সংখ্যার যেকোনো একটি n দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য, যেমন {২,৩,৪} সেট এ ৩ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য]

if we take 72, we know 75 is divisible by 3, and 75 – 72 = 3, but 474 – 472 = 2, so this can never be written as the sum of three consecutive numbers [বিশ্বাস না হলে করে দেখতে পারো]

here the odd divisor is 59, which is a prime number. Therefore 472 cannot be expressed as a sum of n consecutive numbers, n>2.

৭। It is given that f(x) is a function defined on R, satisfying f(1)=1 and for any x on R, f(x+7)≥f(x)+7 and f(x+1)≤f(x)+1.Then f(2013)=?

f(x+1)≤f(x)+1 থেকে analogically f(x+7)≤f(x)+7 পর্যন্ত আসা যাবে। কিন্তু দেয়া আছে f(x+7)≥f(x)+7, সুতরাং এখান থেকে দেখাতে পারি, f(x+7)=f(x)+7। এটা দেখানোর পরে f(x+1)≤f(x)+1 থেকে বের করা যায় যে f(x+n)≤f(x)+n। এখন একটা axiom ব্যবহার করি a≤b≤c≤d≤a হলে a=b=c=d। তাহলে f(2006+7)=f(2006)+7, and f(1) = 1 implies that f(2013) = 2013.

৮। if f(xy)=f(x)/y & f(2012)=1,what is the value of f(2013)?

if x = 1 and y = 2012
then f(2012) = f(1)/2012
or f(1)/2012 = 1
or f(1) = 2012

if x = 1 and y = 2013
then f(2013) = f(1)/2013 = 2012/2013

লেখা কেমন লাগল জানতে পারলে ভাল লাগবে।

Author: Awnon Bhowmik

I know very little to be proud about it. Mathematics enthusiast, possess a lust for mathematical/computational knowledge