বেশ দীর্ঘ বিরতির পর আবার শুরু করছি, প্রিজনার’স ডিলেমা এর সমাধান এর কারণ ব্যাখ্যা করা এখনো বাকি। আশা করি, গতদিন যে সংজ্ঞাগুলো দিয়েছিলাম সেগুলো সবার মনে আছে। Preference Relation, Agent এই সংজ্ঞাগুলোই মূলত দেয়া হয়েছিলো। এখন বলি এগুলো কি কাজে লাগবে। তার আগে আরেকটা জিনিস বলে নেই, প্রিজনার’স ডিলেমা তে আমরা যে ছকটা তৈরি করেছিলাম আবার সেটা দেখি:

প্রথম পোস্টে আমি উল্লেখ করেছিলাম যে,

অপরাধীদের দেয়া প্রত্যেক রায়ের জন্য কিছু সংখ্যা এসাইন করে দিতে পারি। যেমনঃ

১০ বছরের শাস্তি = ০ পয়েন্ট

৫ বছরের শাস্তি = ১ পয়েন্ট

১ সপ্তাহের শাস্তি = ২ পয়েন্ট

ফ্রি (কোন শাস্তি নেই) = ৩ পয়েন্ট

এই যে, সংখ্যাগুলো এসাইন করে দিলাম, একে বলা হয় Utility আর প্রত্যেক অপরাধী/প্লেয়ার(Player)/Agent এর ডিসিশনকে বলা হয় Action। তাই প্রতিটি Agent এর Action এর কারণে তারা Utility পাচ্ছে। কোন কোন Action এর Utility কম এবং কোন কোন Action এর Utility বেশি।

এই যে Utility বেশি না কম এটা আমরা প্রেফারেন্স রিলেশন দিয়ে নির্ধারণ করি।

এখন আমরা এই তুলনা কীভাবে করব? অর্থাৎ এখানে ২জন প্লেয়ার আছে যেহেতু Utility এর তুলনা কীভাবে করব আমরা সেটা ব্যাখ্যা করি।

আবার একটু মনে করিয়ে দেই, ১ম প্লেয়ারকে আমরা ক দিয়ে এবং ২য় প্লেয়ারকে খ দিয়ে চিহ্নিত করেছিলাম। ‘ক’ প্লেয়ার আছে সারি বরাবর এবং ‘খ’ প্লেয়ার আছে কলাম বরাবর। বুঝার সুবিধার জন্য আমি রঙও ২ ধরনের ব্যবহার করেছি। এখন, ‘ক’ প্লেয়ার এর জন্য কোন Utility বেশি হবে সেটা দেখার জন্য আমরা সারি বরাবর যেই Utility গুলো আছে সেগুলোর তুলনা করব। যেমন :

আমরা ১ম এবং ২য় সারির দিকে একটু খেয়াল করি। এখানে ১ম সারিতে ‘ক’ সহযোগিতা করলে পাচ্ছে ‘২’ এবং ২য় সারিতে ‘ক’ বিশ্বাসঘাতকতা করলে পাচ্ছে ‘৩’। এখানে Utility ‘৩’, Utility ‘২’ এর চেয়ে বড় (৩>২)। তাই ‘ক’ এর বিশ্বাসঘাতকতা করার  সম্ভাবনা বেশি।

আবার ২য় কলামের ১ম এবং ২য় সারির তুলনা করি। এখানেও ১ম সারিতে ‘ক’ সহযোগিতা করলে পাচ্ছে ‘০’ এবং ২য় সারিতে ‘ক’ বিশ্বাসঘাতকতা করলে পাচ্ছে ‘১’।এখানে Utility ‘১’, Utility ‘০’ (১>০) এর চেয়ে বড়। তাই ‘ক’ এর বিশ্বাসঘাতকতা করার সম্ভাবনা বেশি। নিচের ছকে চিহ্নিত করে দেখালাম:

এখন, ‘খ’ প্লেয়ার এর জন্য কোন Utility বেশি হবে সেটা দেখার জন্য আমরা কলাম বরাবর যেই Utility গুলো আছে সেগুলোর তুলনা করব। যেমন :

আমরা ১ম এবং ২য় কলামের দিকে খেয়াল করি। এখানে ১ম কলামে ‘খ’ সহযোগিতা করলে পাচ্ছে ‘২’ এবং ২য় কলামে ‘খ’ বিশ্বাসঘাতকতা করলে পাচ্ছে ‘৩’। এখানে Utility ‘৩’, Utility ‘২’ এর চেয়ে বড় (৩>২)। তাই ‘খ’ এর বিশ্বাসঘাতকতা করার সম্ভাবনা বেশি।

আবার ২য় সারির ১ম এবং ২য় কলামের তুলনা করি। এখানেও ১ম কলামে ‘খ’ সহযোগিতা করলে পাচ্ছে ‘০’ এবং ২য় কলামে ‘খ’ বিশ্বাসঘাতকতা করলে পাচ্ছে ‘১’।এখানে Utility ‘১’, Utility ‘০’ (১>০) এর চেয়ে বড়। তাই ‘খ’ এর বিশ্বাসঘাতকতা করার সম্ভাবনা বেশি। নিচের ছকে চিহ্নিত করে দেখালাম:

তাহলে দেখা যাচ্ছে উভয় প্লেয়ার/অপরাধীর জন্য বিশ্বাসঘাতকতা করাই তাদের জন্য ভালো ডিসিশন হবে। একারণে (১,১) এই Outcome ই এখানে সবচেয়ে Dominant Outcome এবং একারণেই বিশ্বাসঘাতকতা করাই হবে সবচেয়ে ভালো ডিসিশন। এটাই প্রিজনার’স ডিলেমা’র সমাধানের গাণিতিক ব্যাখ্যা।

আগের প্যারাগ্রাফে কিন্তু আমি কিছু শব্দ ব্যবহার করেছি। এবার এগুলোর সংজ্ঞা দেয়ার পালা। আজকে এই সংজ্ঞাগুলো দিয়েই লেখা শেষ করব।

Outcome: ১টা ২-প্লেয়ার গেম এ ২জন(উভয়) প্লেয়ার এর Action এর Utility ই Outcome. যেমন, উপরের ছকে (২,২), (৩,০), (০,৩) এবং (১,১) এই চারটা Outcome আছে।

Dominant Outcome:  কোন প্লেয়ারের একটা Action কে  Dominant বলা হয় যদি এর Utility ঐ প্লেয়ারের অন্য যে কোন Action এর Utility থেকে বেশি হয়। যেমন:

ঠিক উপরের ছকেই প্লেয়ার ‘খ’ এর জন্য কলাম বরাবর ৩ > ২ এবং ১ > ০। তাহলে অবশ্যই এখানে ‘খ’ প্লেয়ারের Dominant Action হলো পর্যায়ক্রমে ৩ এবং ১।

তাহলে Dominant Outcome এর কথা যখন বলবো, তখন উভয় প্লেয়ার এর Dominant Action আমরা খুঁজে বের করব, এবং যেই Outcome আমরা পাবো সেটাই Dominant Outcome। যেমন: প্রিজনার’স ডিলেমা গেম এ (১,১) হলো Dominant Outcome।

আজকে এখানেই শেষ করছি। পরের পোস্টে Dominant এবং Dominated Outcome নিয়ে আরো কিছু সংজ্ঞা এবং উদাহরণ দিব। খাতা কলম নিয়ে বসবেন কিন্তু!

Author: নাফিসা রায়হানা

Be less curious about people and more curious about ideas-- Marie Curie.