কেন এনালাইসিস গুরুত্বপূর্ণ-পার্ট ২

এর আগে দেখিয়েছিলাম কেন আমাদের ফাংশনাল এনালাইসিস পড়তে হবে !! আজকে এর আরেকধাপ লিখব !!

আমরা জানি যদি নিউম্যারিক্যাল এনালাইসিস করি, বিশেষ করে প্রগ্রামিং করি, অনেক ক্ষেত্রে উদ্ভট মান আসতে থাকে, কেন আসে এমন মান তার মাইক্রস্কোপিক ব্যাখ্যা পাওয়া যায় তার প্লট বা গ্রাফিক্যাল রিপ্রেজেন্টেশন এ !! এরকম একটি ইকুয়েশন নেই যার গ্রাফিক্যাল রিপ্রেজেন্টেশন সম্ভব না !! যদিনা তা এসিমটটিক্যালি ইনফিনিটি কন্ডিশন থাকে তাহলে একটু সমস্যা !!

তো যারা ফাইনাইট ডিফারেন্স পড়েছি, তাঁদের জন্য মূল মন্ত্র থাকে যে স্কিম বা মেথডটি কি কন্সিস্টেন্ট কি না? মানে এটা স্ট্যাবল এবং কনভার্জেন্ট কি না !! সিম্পলি বলতেগেলে স্ট্যাবিলিটি হচ্ছে এর গ্রাফিক্যাল সলুশন হবে স্মুদ !! কোন ধরণের অসিলেশন থাকবেনা ইনফাইনাইট টাইম এও !!
আমরা এও জানি ফরোয়ার্ড অয়লার, ব্যাকোয়ার্ড অয়লার এবং এ দুয়ে মিলে আছে ট্রাপিজয়ডাল রুল !! মোষ্ট বইতে লেখা আছে ট্রাপিজয়ডাল রুল আনকন্ডিশনালী স্টেবল !! মানে যতবড়ই টাইম স্টেপ নেয়া হোক সলুশন দিবে স্মুদ !! আসলে কি তাই ?? একটা আইডিয়া আছে ফাইনাইট ইলিমেন্ট এ, সেটা হচ্ছে গ্যালার্কিন এপ্রক্সিমেশন স্ট্যাবল তখনি যখন তার স্টিফ মেট্রেক্স পজিটিভ ?? আর এই আইডিয়াই আমাকে ভাবিয়েছে ফাইনাট ডিফারেন্স এ, একটু পড়াশুনা করে দেখলাম, ফাইনাইট ডিফারেন্সেও মেট্রিক্স পজিটিভিটি চেক করা জরুরী !!! মেট্রিক্স আবার পজিটিভ হয় কেমন করে ?? কেউ কি জানি বা খেয়াল করেছি মেট্রিক্স পজিটিভ হয় কেমন করে?? দুটি দিক আছেঃ মেট্রিক্স টা যদি ডায়গোনালী ডমিনেন্ট হয় ও এর আইগেন ভ্যালু পজিটিভ হয়, অথবা এর ক্যারাক্টারিস্টিক ইকুয়েশন ইনভার্টিবল হয় !!

এগুলো সিম্পল এনালাইসিস !! কিন্তু প্রয়োগটা বিশাল !! কারণ আমরা জানি ট্রাপিজয়ডাল রুলে দু’টি স্টিফ মেট্রিক্স দেয়, একটি টাইম স্টেপের জন্য, আরেকটি স্পেস স্টেপের জন্য !! এখন যদি ধরিঃ

\Delta t = Time Step \quad \Delta x = Space Step

তাহলে ট্রাপিজয়ডাল রুলটি তখনই হিট ইকুয়েশনের জন্য স্মুদ সলুশন দিবে যখনঃ
\frac{\Delta t }{\Delta x^2} \leq 1

এটাকে বলে পজিটিভিটি কন্ডিশন !! কিন্তু ইমপ্লিসিট অয়েলারের বেলায় আমাদের এর দিকে খেয়াল করার প্রয়োজন নেই !! কারনঃ ইমপ্লিসিট অয়লার আনকন্ডিশনালি পজিটিভ !! আমরা কি জানি কেন? আচ্ছা তার আগে দু’টো গ্রাফ দেখে নেয়া যাক নিম্নের ইকুয়েশনের জন্যঃ
borgoযদি এই ইকুয়েশনটা সলভ করি ইমপ্লিসিট অয়লার ও ট্রাপিজয়ডাল ইকুয়েশন দিয়েঃ জানি প্রোগ্রাম করতে লাগে টাইম স্টেপ ও স্পেশ স্টেপঃ ধরে নেই দুটাই ১/৫০, তাহলে নিশ্চিত ভাবেই আমরা যাচ্ছি এর পজিটিভিটি কন্ডিশন এর বিপরীতে ট্রাপিজয়ডাল এর ক্ষেত্রে, সেক্ষেত্রে আমরা দেখবঃ এর ডিসকন্টিনিউটি পয়েন্টে ট্রাপিজয়ডাল রুল দিবে অসিলেশনঃ দেখা যাকঃ

Trapizoidalদেখতে পাচ্ছি, তার পুরা ডোমেইনে সলুশন স্মুদ, কিন্তু ১/২ ও ১ এ অসিলেশন, যা প্রত্যাশিত না, কারণ, এই খানে আমাদের মডেলটি স্ট্যাবল না, তাই ট্রাপিজয়ডাল রুল দিয়ে সমাধান করে মান দিলে মডেলটির স্ট্যাবিলিটি খাটবেনা, যা কনভারজেন্সিকেও ভায়োলেট করবে, মোট কথা সলুশন গ্রহণ যোগ্য না !!

অপরদিকে, যদি দেখিঃ একই টাইম স্টেপ ও স্পেস স্টেপ নিয়ে যদি ইমপ্লিসিট স্কিমে রান করি, তাহলে সলুশন পাবঃ
implicitহ্যা !! এটা স্মুদ ও স্ট্যাবল !! তাহলে কি তফাৎটা এল?? ধরি, আমি একটি ব্রিজের স্ট্রাকচার ডিজাইন করছি, সেক্ষেত্রে ব্রিজের বীম বরাবর এর স্ট্যাবিলিটি এনালাইসিস বিশাল গুরুত্বপূর্ন !! তার জন্য এই ধরণের স্কিম ব্যাবহারের ক্ষেত্রে আমাদের সচেতন হওয়াটা জরুরী !! আবার এটাও যদি দেখি, পজিটিভিটি ঠিক রেখেই সলুশন রান করব, তাহলেই তো হলো !! এখানে জানিয়ে রাখিঃ টাইম মানে টাকা !! পজিটিভিটি কন্ডিশন মেইনটেইন করতে হলে কম্পিউটার সময় নিবে অনেক ক্ষণ, এমনকি ম্যাট্রিক্সের ডাইমেনশন ১০০০০ বাই ১০০০০ হলে পাওয়ারফুল কনফিগারেশন লাগবে !! অন্যদিকে ইমপ্লিসিট অয়লার ব্যাবহার করলে সময় নিবে মাত্র কয়েক সেকেন্ড যদি টাইমস্টেপ বড় নেই !! মূলতঃ নিউম্যারিক্যাল এনালাইসিস এ যেটা বলা হয় মেশ রিফাইনিং, এই ধরণের ইকুয়েশন হচ্ছে শুধুমাত্র ডিফিউশন, কিন্তু মাঝে মাঝে আমাদের লাগে এডভ্যাকশন ডিফিউশন, মানে ছড়ানোর সাথে সাথে প্রবাহিত হয় !! যেমনঃ টিউমার !! ব্লাড ফ্লো মুভিং এর ফলে ডিফিউসডও ও সেল গুলোতে, অনেক ক্ষেত্রে যেটাকে বলে সেল মুভমেন্ট, যেমনঃ ক্যান্সার কোষ !! এই ধরণের মডেলের ক্ষেত্রে বেটার কিউরের জন্য লাগে আবার ট্রাপিজয়ডাল রুল !! কারণ এক্সপ্লিসিট স্কিম লাগে এডভেকশন ইকুয়েশনের জন্য আবার ইমপ্লিসিট স্কিম লাগে ডিফিউশনের জন্য !! তখন আমাদের ম্যাট্রিক্স এনালাইসিস জরুরী !!

এ কথা ঠিক বর্তমানে অনেক সফটওয়ার আছে যে এগুলো এনালাইসিস করেই তৈরী করা, এমন মোষ্ট ইঞ্জিনিয়ারদের সেগুলোই পছন্দ !! যেমনঃ কমসল, ফিনিক্স ইত্যাদি ইত্যাদি !! কিন্তু আমাদের গণিতবীদদের এই খানেই মজা যে, আমরা অস্থি-মজ্জা সব জানি, এবং সেই সাথে নিজে নিজে প্রোগ্রাম করতে পারলে এটা নিয়ে প্লে করে মজা পাওয়া যায় !! সেজন্য আমাদের মাথায় এনালাইসিস থাকাটা জরুরী না শুধু, অবশ্যয়ই থাকা লাগবে !! নয়ত এই ধরণের ছোট-খাট সমস্যাও ধরতে পারব না !! আর না পারলে আমাদের গণিত পড়াটাই বৃথা !!

এখন, সিম্পলই একটা প্রশ্ন রেখে শেষ করতেছিঃ নিউটন রেপশন মেথড এ ইনিশিয়াল মান চয়েসের ক্ষেত্রে কেন বিশেষ খেয়াল রাখা জরুরী ??!! ও এখানে টলারেন্সের ভূমিকা কি?? উত্তর জানতে লাগবে রিয়েল এনালাসিস 🙂

————————————–

আতিক ।

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/leatique/3582/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading