একটি ফাংশন বিবেচনা করি, $ f(x)= x^\frac{1}{x} $

এই ফাংশনটির গ্রাফ কেমন হবে তা অ্যানালাইসিস করা যাক।

y=f(x) ধরি। তাহলে $ln(y)= \frac{ln(x)}{x}$
এখন উভয়পক্ষকে x সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই, $\frac{y’}{y}=\frac{1-ln(x)}{x^2}$
কাজেই  $f'(x)=\frac{f(x)}{x^2}(1-ln(x))$
যদি $x \geq 0$ হয় তবে $f(x) \geq 0$, কাজেই f'(x) এর চিহ্ন (1-lnx) এর ওপর নির্ভর করে।

$(0,e)$ ব্যবধিতে $ln(x) \leq 1$ , কাজেই f'(x) এই $(0,e)$ ব্যবধিতে পজিটিভ, অর্থাৎ এই ইন্টারভ্যালে x বাড়ালে f(x) বাড়ে।
আবার x=e তে $f'(x)=0$ , অর্থাৎ f(x) সর্বোচ্চ হয়।
আর $x \geq e$ এর জন্য আবার $ln(x) >1$ , কাজেই তখন x বাড়লে f(x) কমে। সব মিলিয়ে গ্রাফ হয় নিচের  মতো।

এখন তাহলে a<b≤e এর জন্য আমরা বলতেই পারি, এই অংশে f(x) যেহেতু increasing, কাজেই $b^\frac{1}{b}>a^\frac{1}{a}$ বা, $b^a>a^b$ , অর্থাৎ e এর চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলোর জন্য বেজ বড় যার সেই বড়।
যেমন $2^1>1^2$
আবার a>b≥e এর জন্য ফাংশন decreasing, কাজেই এক্ষেত্রে উল্টাটা, মানে ছোট বেজ যার সেই বড় হবে।
কাজেই $30^{31}>31^{30}$ হবে।

আর যদি a,b এখানে e এর দুই দিকে অবস্থিত হয়, তবে এক্ষেত্রে এতো সহজে ডিসিশন নেয়া যাবে না।
ধরি a<e, b>e
তাহলে এখন $a^b$ আর $b^a$ এর তুলনা করতে হলে বেশ কয়েকটি জিনিস ভাবতে হবে।

যদি $a^b>b^a$ হয়, তবে $a^\frac{1}{a}>b^\frac{1}{b} ⇒ f(a)>f(b)$ হতে হবে।
গ্রাফ থেকে এটা পরিষ্কার যে এক্ষেত্রে প্রতিটা x=a এর জন্য x=e এর অপর পাশে একটা করেস্পন্ডেন্ট x=c আছে।
তাহলে ধরি f(a)=f(c)
বা, $a^c=c^a$
তাহলে b>c নাকি b<c তার ওপর নির্ভর করে বলতে হবে $a^b$ ও $b^a$ এর কোনটা বড়।
এখন তার জন্য আবার আরেকটা ঝামেলা এসে উপস্থিত।
এর জন্য $x^y=y^x$ এর সমাধান করতে হবে, যেখানে x≠y
এটা ম্যাথের একটা ক্লাসিক প্রবলেম! সমস্যাটি নিয়ে বার্নুলি, গোল্ডবাক, ইউলার অনেকেই কাজ করেছেন।

আমরা সবাই জানি (2,4),(4,2) হলো x≠y এর জন্য একটি সমাধান, আর x=y একটি ট্রিভিয়াল সল্যুশন, এটি নিয়ে তাই মাথা ঘামানোর দরকার বোধ করছি না।