Rational Zero Theorem

এই ওয়েবসাইট এর উদ্যোগতাদের একজন সম্প্রতি আমার সাথে যোগাযোগ করেছেন, বললেন আমার লেখার উপরে অনেক হিট পরে, আমি যেন আবার লেখালেখি শুরু করি। ভাইয়েরা আমার, বোনেরা সবার, আগেই বলে দেই, আমার লেখায় হিট খাওয়ার ইচ্ছা আমার নাই। আরে হিট মানে তো গরম, অথবা মাইর। এখানে গরমে মরতেসি তার উপরে মাইর খাইলে আবার কিমুন হইব? আজকের লেখার পরে আমি এক্কেবারে ৮৪০% গ্যার‍্যান্টিতে বলতে পারি, এটাতে হিট পড়বে, মানুষ আমারে ইট দিয়ে জবর একখান হিট করার জইন্নে দৌড়াবে।

========================================================================================

আসল কথায় আসি, আজকে দেখব একটা উপপাদ্য। আমার জানা খুবই প্রিয় এবং মজার একটা উপপাদ্য। আগেই বলে দিচ্ছি, এই ওয়েবসাইট এর উদ্যোগতাদের একজন আমাকে আরো শাসিয়ে দিয়েছেন যে আমি যা লিখি যেন বাংলায় লিখি। সমস্যা হচ্ছে ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ে পড়ার পরও তো তেমন বাংলা শেখা হলো না, এই বুইড়া বয়সে কি শিখুম। তাই আগে ইংরেজিতে লিখবো, এরপরে বাংলায় বুঝিয়ে দেব, হবে না?

========================================================================================

Rational Zero Theorem: An $n^{th}$ degree polynomial has at most $n$ rational zeros.

Proof: Let us consider the arbitrary, reducible polynomial $p(x)$ such that

$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+……+a$ where $a_n\in\mathbb{C},x\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$

Let us assume that $p(x)=(x-a)^m g(x)$ since $p(x)$ is reducible

 

Using the law of indices

$degree[p(x)]=degree[(x-a)^m]+degree[g(x)]……..[*]$

If $g(x)=c$, where $c$ is an arbitrary constant. Then $degree[g(x)]=0$

Suppose that

$degree[p(x)]=n,degree[(x-a)^m]=m$

Then substituting in [*] yields

$n=m+0$

$\implies m=n………….[i]$

Now, suppose that $g(x)$ is a prime polynomial, that is, it is irreducible.

Assuming $degree[g(x)]=p$, and substituting into [*], we have

$n=m+p$

$\implies n>m$

$\implies m<n……..[ii]$

Combining [i]  and [ii], we have

$m\leq n$

$\implies degree[(x-a)^m]\leq degree[p(x)]$

$\implies p(x)$ can have at most $n$ rational roots.

[Proved]

  1. একটা Polynomial নাও, যার Coefficient গুলো কমপ্লেক্স নাম্বার এবং Solution গুলো বাস্তব সংখ্যা।
  2. Law of Indices ব্যাবহার করে Polynomial এবং Solution এর ডিগ্রির একটা রিলেশন পাওয়া যাবে।
  3. লক্ষ্য করো যে, আমি যেভাবে Polynomial টা কে ফ্যাক্টর করেছি তাতে করে Solution এর Multiplicity টাকেও গণ্য করা হচ্ছে।
  4. যদি $g(x)$ কে একটা ধ্রুবক Function ধরে নেই, তাহলে তার ডিগ্রি হবে ০।
  5. $a^m \times a^n=a^{m+n}$ এই সুত্রটা ব্যাবহার করো। ফ্যাক্টরের ডিগ্রি গুলোকে যোগ করলেই তো পলিনোমিয়ালের ডিগ্রির সমান হবে, লক্ষ্য কর যে, ডিগ্রি সমান হওয়া এবং সমাধানের সংখ্যা এক হওয়া একই জিনিস নয়, ওটা Fundamental Theorem of Algebra আর এটা Rational Zero Theorem
  6. এরপরে লিখেছি যে ধরে নিচ্ছি $g(x)$ একটা Prime Polynomial. এগুলোকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না দেখে এদেরকে Irreducible Polynomial ও বলা হয়।
  7. তার পরে যে কায়দাটা ব্যাবহার করেছি সেটা তো সবারই জানা, খুবই স্বাভাবিক Inequality property। যদি $a=b+c$ তাহলে $a>b$ অথবা $a>c$ তো লেখাই যায়।

আমি জানি না এটা কলেজে অথবা বিশ্ববিদ্যালয়ে করানো হয় কি না, শুধু মনে হলো আবার এটা মজা করে লিখি, তাই এখানে দিয়ে দিলাম। যদি দেখি যে কারো এই ওয়েবসাইট এ থিওরেম পছন্দ হচ্ছে না, তাহলে নাহয় আর দেব না।

ছোট ভাইবোনদের বলছি, যদি এটা বুঝে থাকো তাহলে এটা করতে লাগবে ঘড়ি ধরে ৩ মিনিট, তাও গান শুনতে শুনতে। এটার সাথে কোন বইয়ের রেফারেন্স নাই, কারন আমি থিওরেম বানিয়ে লিখি। শফিক স্যারকে জিজ্ঞেস করতে পারো, তারও হয়ত মনে নাই, ফেল করা মানুষকে কেউ ভাল চোখে দেখে না। আশীর্বাদ করি, সবাই বড় হও, জীবনে অনেক বাধা আসবে, প্রার্থনা করি যেন ভুল ডিসিশন নিও না। সবার মানসিক জোর আমার মতন না, সহ্য করতে পারবে না।

মনে আছে যখন প্রথম বর্ষে ভালো করলাম, তখন অনেকেই আমাকে চিনে। অনেক কিছু নিয়ে আসে শেখার জন্য, আমারও কিছু জিনিস শেখা হয়, ভালই হলো। যখন পরের বর্ষ থেকে ফেল করা শুরু করলাম, তখন ওরা বলল, কিছু বুঝার ইচ্ছা থাকলে অননের কাছে যা, কিন্তু পাশ করার জন্য যদি যাওয়ার আশা থাকে তাহলে ছেড়ে দে। দুনিয়াটা আসলেই মজার। তোরা যদি কেউ কোনদিন এটা দেখিস তাহলে জানিস যে, আমি অঙ্কে কাচা, কিন্তু মানুষ হিসাবে খুব খারাপ না। আমার একটাই দোষ, আমি মনের উপরে জোড় খাটাই না।

ভালো থাকবেন সবাই।

Everything we think about ourselves, is less than what we actually have inside us

Awnon Bhowmik
Author: Awnon Bhowmik

I know very little to be proud about it. Mathematics enthusiast, possess a lust for mathematical/computational knowledge

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/awnon/4308/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading