আমরা সবাই জানি, যে উপরের ছবিতে \(y(x)\)  কার্ভটির নিচে যে ধূসর জায়গাটি দ্যাখা যাচ্ছে, তার ক্ষেত্রফল হল,

\[ \int_{x=a} ^{x=b} y(x) \ dx \]

ইকুয়েশনের আগে-পিছে কি কালো রঙের চারকোনার ভেতর প্রশ্নবোধক চিহ্ন দ্যাখাচ্ছে? দ্যাখালে হয় ক্ষমা, নয়ত ইগনোর। কেন যে ওটা দ্যাখাচ্ছে কে জানে। চন্দ্র চেষ্টা চালিয়ে যাচ্ছে সব ঠিকঠাক করবার।

সে যা হোক, আলোচনায় ফিরি। আমাদের \( y(x) \) কার্ভের যতটুকু দ্যাখা যাচ্ছে, ততটুকুর দৈর্ঘ্য কত? অর্থাৎ, আমরা যদি \( y(x) \) বরাবর একটা সুতো বসাই, তাহলে সোজা করে টেনে ধরলে  সুতোটার দৈর্ঘ্য কত হবে? এটাও ইন্টিগ্রেশন থেকেই বেরিয়ে পড়বে। শুধু ওপরের ছবিটাকে একটু ম্যাগনিফাই করে দেখতে হবে।

বাঁয়ের ছবিতে \( y(x) \) কার্ভের খুব ছোট একটা অংশ জুম করে বড় করেছি। ইন্টিগ্রেশনের সময় আমরা ইন্টিগ্র্যান্ডের ডোমেইনকে অনেক গুলো ছোট ছোট অংশে ভাগ করে ফেলি। যেমন, এই ক্ষেত্রে x-অক্ষের ওপর আমরা \( x_0, x_1, x_2, … , x_8 \) বিন্দু গুলো নিয়ে তাকে ৮টা ইন্টারভেলে ভাগ করেছি (দেখতে সমস্যা হলেও বিশ্বাস করুন, তা-ই করেছি :-/ )। এখন, যেকোন \( x_i \) -এর ক্ষেত্রে \( y(x_i) \) নিঃসন্দেহে কার্ভের ওপর একটা পয়েন্ট। এই \( y(x_0), y(x_1), \ldots, y(x_8) \)  পয়েন্ট গুলো পরপর যোগ করে দিলে যেই রেখাটা পাওয়া যাবে, সেটা দেখতে এ্যাপ্রক্সিমেটলি \( y(x) \)-এর মতই হবে।

উপরের ছবির ডানদিকের অংশে সেটাই করা হয়েছে। এরপর স্বভাবসুলভ ভঙ্গিতে আমরা \( x\) এবং \( y\)-এর চেইঞ্জ গুলোকে ডিফাইন করিঃ

\[ \Delta x = x_{i+1} – x_i \\ \Delta y = f(x_{i+1}) – f(x_i) = y_{i+1} – y_i  \]

\( y_i\) এবং \(y_{i+1}\) এর সংযোজক সরলরেখা গুলোর নাম রাখি \(\Delta s\).

ছবি থেকে এটা স্পষ্ট যে ছোট ছোট \(\Delta s\) গুলোকে যোগ করে দিলেই আমরা কার্ভের কাঙ্খিত দৈর্ঘ্য পেয়ে যাব। তাই কার্ভের দৈর্ঘ্য বা আর্কলেংথ বা \(s\) – যে নামেই ব্যাটাকে ডাকি না কেন, তা হবেঃ

\[ s = \int ds \]

কন্টিনিউয়াম লিমিটে \(\Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0 \) ধরে ক্যালকুলাসে কিন্তু ইতিমধ্যে প্রবেশ করেছি। এখন আবারো জুম করা ছবিটার দিকে তাকালে দ্যাখা যাবে, পীথাগোরাস উপস্থিত!

\[ ds^2 = dx^2 +dy^2  \\ \implies ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{ dx^2 \left( 1+\frac{dy^2}{dx^2} \right) } \]

\[ \implies ds = \sqrt{ 1+ \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 } \ \ dx \]

সুতরাং আর্কলেংথের ফরমুলা রেডি!

\[ s = \int ds = \int_{x=a} ^{x=b} \sqrt{ 1+ \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 } \ \ dx  \]

এই একই ভাবনা থেকে সার্ফেস অফ রিভলিউশনের ফরমুলাও বের করে ফেলা যায়। অর্থাৎ \(y(x)\) কার্ভটাকে \(x\)-অক্ষের চারদিকে ঘোরালে যেই পাতিল প্রজাতির সলিড জিনিসটা পাওয়াযাবে, তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, বা সহজ বাংলায় সার্ফেস এরিয়া হবেঃ

\[ A = \int dA = \int_{x=a} ^{x=b}  2\pi \ y(x) \  \sqrt{ 1+ \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 } \ \ dx \]

ডিটেইলড ক্যালকুলেশনে আপাতত যাচ্ছিনা। খুবই সহজ, সবই এক, শুধু ফ্রাস্টামের আইডিয়াটা একটু থাকতে হবে। সামান্য গুগল করলে তো পাওয়া যাবেই, প্লাস পল’স অনলাইনেও লাইনবাইলাইন হাজির করা আছে।

এবার আরেকটু মজা করা যাক। আমাদেরকে সারাজীবন যে কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেটেই বসে থাকতে হবে তেমন তো কোন কথা নেই। সিলিন্ড্রিকাল বা স্ফেরিকাল কোঅর্ডিনেটেও তো চলে যেতে পারি। তখন এই আর্কলেংথের প্রবলেমটা হবে আরও নান্দনিক। যদি প্রশ্ন করা হয়, একটা সিলিন্ডারের গা বরাবর দুটো পয়েন্টের মধ্যে একটা ফাংশন (কার্ভ) ডিফাইন করা আছে।

এই লাল রঙের কার্ভটার দৌর্ঘ্য বের করতে হবে।তখন? এটাও একদমই সহজ। শুধু একটু বেশি মাথা খাটানো। সিলিন্ডারের গায়ের যেকোন বিন্দু আইডেন্টিফাই করার সবচে’ সহজ উপায় হল সিলিন্ড্রিকাল কোঅর্ডিনেট সিস্টেম (\( r,\theta, z\))। এবং সেটা শুধুই পোলার কোঅর্ডিনেট (\( r,\theta\))-এর \(z\)-এক্সিস বরাবর

সুতরাং সিলিন্ডারের গায়ে যেকোন বিন্দুর স্থানাংক (\(x,y,z\)) এর জন্য,

\[ x = r \cos \theta  \\ y = r \sin \theta \\ z = z \]

সিলিন্ডারের গা বরাবর ছোট ছোট \(ds\) নিয়ে পীথাগোরাসের মহাবাক্য অনুযায়ী আর্কলেংথের ফরমুলা দাঁড়াবেঃ

\[ S = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r+ \left( \frac{dz}{d\theta}  \right)^2} d\theta \]

লেটেকে আর ক্যালকুলেশন টাইপ করার ধৈর্য্য পাচ্ছিনা। হাতেই রংচং মেরে লিখে দিলাম।

আমার রঙিন ক্যালকুলেশনের নিরীহ ভুলটার দিকে সবার কুনজর পড়ার আগেই কেটে পড়ি। ব্র্যাকেট গুলো বড় বেয়াদব। নিজের জায়গা ছেড়ে শুধু অন্যের জায়গায় গিয়ে বসে পড়ে।

তবে কেটে পড়ার আগে বলে নেই, পরের পোস্ট থেকে শুরু হবে সত্যিকারের মজা!

সে পর্যন্ত ভাল থাকবেন!

: -)

.

Author: Galib Hassan

Mischief Managed.. 😉