ক্যালকুলাস অফ ভ্যারিয়েশন্সঃ ৩ – পথের পাঁচালি

এবার জমবে আসল মজা। প্রিরিকুইজিটের পালা শেষ। আমরা এখন জেনে গেছি, \(xy\)-সমতলে যদি একটা ফাংশন \(y(x)\) ডিফাইন করা থাকে যার ডোমেইন  \(x=[a,b]\), তাহলে তার দৈর্ঘ্য হবেঃ

$$ s = \int_{x=a}^{x=b} \sqrt{1+y’^2} dx  $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (1)$$

অবশ্যই  এখানে \(y’ = \frac{dy}{dx}\).

paths

\( P(x_1,y_1)\) বিন্দু থেকে  \(Q(x_2,y_2)\) বিন্দুটিতে যে অসংখ্য পথে রওয়ানা হওয়া যায়, সেটাও ছবি থেকে স্পষ্ট। আমরা লালনীলবাইগুনী এই অসংখ্য পথ গুলিকে \(x\) -এর ফাংশন হিসেবে ভাবতে চাই। \( f_1, f_2, f_3, \ldots \) নাম রেখে তাদের আকীকাও সম্পন্ন করে ফেললাম। এখন যদি জিগেস করি, ছবির লাল রঙের পথটার দৈর্ঘ্য কত? সঙ্গে সঙ্গে বিচক্ষণ পাঠক বলে উঠবেন \( \int_{x=a}^{x=b} \sqrt{1+f’_7} \ dx \). চমৎকার!

কিন্তু সবচে’ ছোট পথ কোনটা? সেটাই আজকে খুঁজে বের করতে চাই।

ধরাযাক, সবচে’ ছোট পথটার নাম \(B(x)\) । বি ফর বর্গমূল, বি ফর বাঁশ, বি ফর ছোটপথ। এখন, যেকোন একটা কালেকশনের মধ্যে যদি আমরা সবচে’ ছোট জিনিসটা নেই, তাহলে অন্য জিনিস গুলোকে তার মাধ্যমে প্রকাশ করা বেশ সহজ। যেমন, হাতে অনেকগুলো দড়ি আছে; তার মধ্যে সবচে’ ছোট দড়িটা যদি ২ মিটার হয়, তাহলে ৫ মিটার লম্বা দড়িটাকে আমরা চিনতে পারি “২মিটার+৩মিটার” নামে ডেকে। ঠিক একই ভাবে, \( f_1, f_2, f_3, \ldots \) কার্ভগুলিকেও তাদের ছোটভাই  \(B(x)\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করার একটা চেষ্টা চালানো যাক। কমনসেন্স বলছে, যেকোন কার্ভ \(f_i\) হবে

$$ f_i =  B(x) + \ something $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (2)$$

এই “সামথিং” জিনিসটা হল ডেভিয়েশন। একটা নির্দিষ্ট কার্ভ \(f(x)\) এর ক্ষেত্রে ব্যাপারটা কী দাঁড়ায় দ্যাখা যাক।

bx-and-fx

উপরের ছবিতে নীলরঙের পথটা হল \(f(x)\)। ছোটভাই \(B(x)\)-এর চেহারা কেমন তা তো আমরা এখনো জানিনা। তবুও ভেবে নিলাম, কালো রঙের পথটাই হচ্ছে \(B(x)\) । তাহলে, \(x_1\) বিন্দুতে নীলরঙের রাস্তাকে লেখা যাবে,
$$ f(x_1) = B(x_1) + u_1 $$

এখানে ঐ “সামথিং”-টা হল কমলা রঙের \(u_1\) । একই ভাবে, \(x_2,x3, \ldots, x_i, \ldots \) সবগুলো পয়েন্টের জন্য

$$ f(x_2) = B(x_2) + u_2 \\ f(x_3) = B(x_3) + u_3 \\ \vdots \\ f(x_i) = B(x_i) + u_i \\ \vdots $$

একটা মজার ব্যাপার। \(x\)-অক্ষ বরাবর \([a,b]\) ইন্টারভেলের যেকোন পয়েন্ট \(x_i\)-এর জন্যই কিন্তু আমরা একটা করে \(u_i\) পাচ্ছি। সেই \(u\)-এর বিভিন্ন ভ্যালু গুলিকে \(x\)-এর বিভিন্ন ভ্যালুর বিপরীতে প্লট করে ফেললেও একটা কার্ভ পাওয়া যাবে। সুতরাং \(u\) আসলে \(x\)-এর একটা ফাংশন!

fx-=-bx-+-ux

ওপরের ছবিতে ব্যাপারটা আরও পরিষ্কার। বাম দিকের অংশে \(f(x)\) এবং \(B(x)\)-কে প্লট করেছি। ডানে উপরের অংশে তাদের ডেভিয়েশন \(u_i\) গুলিকে আলাদা ভাবে দেখানো হয়েছে। আর নিচে, সেই একই \(u_i\)-এর গোড়াগুলিকে একলাইনে নিয়ে এসেছি। ফলাফলঃ সব \(u_i\)-এর মাথা জোড়া লাগিয়ে \(u(x)\) কার্ভটা পেয়ে গেছি।

এ তো গেল একটা \(f(x)\) এর গল্প। এরকম হাজারো নির্যাতিত \(f(x)\) বসে আছে শুধু একটিবার \(B(x)\) এবং \(u(x)\) এর মাধ্যমে প্রকাশ পাওয়ার জন্য। তাদের দিকেও আমাদের নজর দিতে হবে। ঠিক আছে, \(f(x)\) এর মতই আরেকটা কার্ভ \(g(x)\)-এর দিকে তাকানো যাকঃ

deviation-function-for-gx

ঠিক একই ভাবে উপরের ছবিতে আমরা \(g(x)\)-এর জন্য \(u(x)\) পেলাম। এই সবুজ \(u(x)\) এর চেহারা  আগের লাল \(u(x)\)-এর থেকে সম্পুর্ণ আলাদা। এরকম হাজারটা পথের জন্য হাজারটা \(u(x)\) উদয় হবে। এ তো মহা মুশকিল! কী করা যায় ভেবে বার করতে হবে।

একটা জিনিস খেয়াল করা দরকার। \(f(x), g(x), B(x)\) প্রতিটি পথের জন্যই একটা ঘটনা সত্য। তাদের মান \([a,b]\) ইন্টারভেলে যেমনই হোক না কেন, \(x=a\) এবং \(x=b\) তে প্রতিটি পথের মান সমান। অর্থাৎ,

$$ f(a) = g(a) = \ldots = B(a) \\ f(b) = g(b) = \ldots = B(b) $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (3)$$

এই জিনিসটাকে বলে বাউন্ডারি কন্ডিশন্স । ডোমেইনের বাউন্ডারিতে পথ (বা কার্ভ বা ফাংশন – যে নামেই  ডাকি না কেন) গুলোর আচরণ। \(P\) এবং \(Q\) বিন্দুর মধ্যে যেকোন পথ এই বাউন্ডারি কন্ডিশন গুলো স্যাটিসফাই করতে বাধ্য। \(u(x)\) দেরও কী এমন কোন বাউন্ডারি কন্ডিশন আছে? নিশ্চয়ই আছে! লাল, সবুজ, নীল যেমনই হোক না কেন – প্রত্যেকটা \(u(x)\)-এর মান বাউন্ডারিতে শূণ্য।

$$ u_f(a) = u_g(a) = \ldots = 0  \\  u_f(b) = u_g(b) = \ldots = 0 $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (3a)$$

এখানে \(u_f\) বলতে \(f(x)\)-এর জন্য পাওয়া লাল রঙের \(u\); \(u_g\) বলতে \(g(x)\)-এর জন্য বের করা সবুজ রঙের \(u\), ইত্যাদি বুঝিয়েছি। এখন যদি প্রশ্ন ওঠে \(B(x)\)-এর জন্য \(u_b\) কেমন হবে? উত্তর সহজ। কোন পথের জন্য \(u(x)\) মানেই হল প্রতিটি \(x\in [a,b]\) এর জন্য  \(B(x)\) থেকে সেই পথের ডেভিয়েশন। তাহলে স্বাভাবিক ভাবেই \(B(x)\)-এর জন্য \(u_b(x)\) সব জায়গায় শূণ্য। কারণ \(B(x)\)-এর নিজের সাথে ডেভিয়েশন সবখানেই শূণ্য!

আবার পুরানো প্যাচালে ফেরা যাক। \(f(x)\) এবং তার জাতভাই সমূহকে কিভাবে \(B(x)\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় – সে ব্যাবসায় আমরা লাভের মুখ তেমন একটা এখনো দেখতে পাইনি। জিনিসটাকে একটু ক্যালকুলাসের আওতায় আনতে চাই। ম্যাক্সিমা-মিনিমা’র আলোকে প্রবলেমটাকে দেখতে চাই। আমরা আসলে কী করতে চাচ্ছি? \(P\) থেকে \(Q\) পর্যন্ত যতগুলো কার্ভ আঁকা যায়, তাদের প্রত্যেকটার দৈর্ঘ্যের ফরমুলা আমরা জানি। তাদের মধ্যে সবার ছোট কার্ভটা আমরা বের করতে চাচ্ছি। অর্থাৎ এই যে দৈর্ঘ্যের যে এক্সপ্রেশন, সেটা কোন কার্ভের জন্য মিনিমাম ভ্যালু দেবে – তা আমরা বের করতে চাচ্ছি। ধরা যাক, \(P\) থেকে \(Q\) পর্যন্ত সবচে’ ছোট কার্ভটির দৈর্ঘ্য (বা আর্কনেংথ) হল ৫ আঙ্গুল। তারচে’ অল্পএকটু বড় একটা কার্ভের দৈর্ঘ্য হয়ত ৫.০০০০১ আঙ্গুল। কিন্তু এই দৈর্ঘ্যের কি একটাই কার্ভ? মোটেও না। paths-with-same-arclength

পাশের ছবির সবগুলো কার্ভের দৈর্ঘ্যই কিন্তু এক। (ব্যাপারটা খুবই সিম্পল। কার্জন হল থেকে গণিত বিভাগের দূরত্ব যদি আধা কিলোমিটার হয়, তাহলে  এমন অনেক গুলো রাস্তা এই দুই জায়গার মধ্যে থাকতে পারে যাদের প্রত্যেকের দৈর্ঘ্য এক কিলোমিটার।)

এখন, এই যে দৈর্ঘ্যের মান গুলো চেইঞ্জ হচ্ছে, সেটা নিশ্চয়ই কোন একটা প্যারামিটারের স্বাপেক্ষে চেইঞ্জ হচ্ছে। ধরেনিলাম তার নাম এপসিলন। তাহলে এখন থেকে এভাবে বলবঃ “\(\epsilon\)-এর একটা ভ্যালুর জন্য ২০ আঙ্গুল দৈর্ঘ্যের কিছু পথ আছে, \(\epsilon\) এর ভ্যালু একটু বাড়িয়ে দিলেই, সেটার কারেস্পন্ডেন্সে ২০.০০১ আঙ্গুল দৈর্ঘ্যের কার্ভ গুলো পেয়ে যাব।”

I-in-terms-of-epsilonআপাতত দৈর্ঘ্য বের করার ফরমুলা (সমীকরন-১)’টার নাম রাখছি \(I\) । \(\epsilon\) এর বিপরীতে \(I\) এর লেখচিত্রটা এক্স্যাক্টলি কেমন হবে, তা আমরা বলতে পারছিনা। তবে আন্দাজ করতে পারি, যে লোকালি কোন না কোন জায়গায় সেটা পাশের ছবিটার মত হবে। \(\epsilon\)-এর কোন একটা মানের জন্য \(I\) -এর ভ্যালু সবচে’ কম হবে (অর্থাৎ সেই \(\epsilon\)-টা আমাদের “ছোটভাই” কার্ভটিকে নির্দেশ করবে।

আমরা ছোটবেলায় ম্যাক্সিমা-মিনিমা থেকে কী শিখেছি? \(f(x)\) -এর ম্যাক্সিমা বা মিনিমা গুলো পাওয়ার জন্য \(f'(x) = 0\) বসিয়ে \(x\)-এর ভ্যালু গুলো বের করতে হবে। \(x = \)সেই সেই ভ্যালু গুলোতেই \(f(x)\)-এর মান সর্বোচ্চ হবে, অথবা সর্বনিম্ন হবে। এরপর সেকেন্ড ডেরিভেটিভ টেস্টঃ ঐ পয়েন্টে \( f”>0\) হলে মিনিমাম আর \(f”<0\) হলে ম্যাক্সিমাম। আমাদের ওপরের ছবিটার ব্যাপারটাও কিন্তু তাই। \(\epsilon\)–এর কোনো পয়েন্টে \(\frac{dI}{d\epsilon} = 0 \) হলেই আমরা বলতে পারি সেখানে \(I\) মিনিমাম বা ম্যাক্সিমাম হবে। \(I\) টা তো পথের দৈর্ঘ্য। সুতরাং এই কন্ডিশন থেকে সেই \(\epsilon\)-এর জন্যই ছোটভাই \(B(x)\) কে পাকড়াও করা যাবে!

 

এবার এই পোস্টের সবচে’ গুরুত্বপূর্ণ ইকুয়েশন। অর্ধেকটা আগেই লিখে রেখেছি ইকুয়েশন-২ -এ। সেই “সামথিং”কে  \(u(x)\) এবং \(\epsilon\)-এর টার্মে লিখার দুঃসাহসটা দেখিয়ে ফেলতে চাইঃ

$$ f(x) =  B(x) + \epsilon \ u(x)  $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (4)$$

\(f\)-এর লেজুড় \(i\)-টাকে বাদ দিয়ে \(f\) -কে সম্পুর্ণ আর্বিট্রারি বানিয়ে দিয়েছি। \(f\) এখন \(P\) থেকে \(Q\) পর্যন্ত “যেকোন” পথ হতে পারে। আমি ইতিহাসে কাঁচা। এই কাজটা অয়লার করেছিলেন না লাগ্রাঞ্জে করেছিলেন, ঠিক বলতে পারছিনা। তবে কেন করেছিলেন, সেটা বলার জন্য ইকুয়েশন-৪ -কে \(\epsilon\) -এর স্বাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করে ফেলা যাকঃ

$$ \frac{df}{d\epsilon} = 0 + u(x) = u(x) $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (4a)$$

আরও মজার ব্যাপার হল, ইকুয়েশন-৪ এ \(\epsilon = 0\) বসালে \(f(x) = B(x)\) পাওয়া যায়। তারমানে এই বেলা আমরা \(\epsilon = 0 \)-তেই সবচে’ ছোট পথটা পাব। এবং \(I\) মিনিমাইজড হবে। \(f(x)\) এর দৈর্ঘ্য \(I\) হল,

$$ I = \int_{x=a}^{x=b} \sqrt{1+ (f'(x))^2 } dx  \\ \implies I \equiv \int_{x=a}^{x=b} F  \ dx  $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (4b)$$

দামড়া ইন্টিগ্র্যান্ডটা বার বার না লিখে তার বদলে \(F\) লিখলাম। আমি সব জায়গায় ফাংশনের ওপর “প্রাইম” বা “ড্যাশ” চিহ্ন দ্বারা \(x\)-এর স্বাপেক্ষে ডেরিভেটিভ বোঝাচ্ছি। এখন, \(f\) এর ভেতর যেহেতু \(\epsilon\) আছে, তাই \(I\) এর ভেতরেও সেটা বহাল থাকবে। কারন ইন্টিগ্রেশনটা করলেও \(\epsilon\) দূর হবেনা। আমাদের এই পথের দৈর্ঘ্য মিনিমাইজেশনের প্রবলেমে \(F\) হল \(f'(x)\)-এর ফাংশন। কিন্তু এর আগের পোস্টে কার্ভ রিভল্ভ করিয়ে হাঁড়িপাতিল বানিয়ে তার সার্ফেস এরিয়া বের করার প্রবলেমটিতে দেখেছিলাম, সেখানকার ইন্টিগ্র্যান্ডটা (মানে \(F\)-টা) \(f’, f\) দুজনেরই ফাংশন ছিল। ইন জেনারেল, \(F\) আসলে \(x\) এরও ফাংশন হতে পারে। তাই এখন থেকে ইন্টিগ্র্যান্ডটাকে আমরা এভাবে ভাববঃ

$$ F \equiv F(x,f,f’) \\ \therefore \ I = \int_{x=a}^{x=b} F(x,f,f’) dx $$

এই \(I\)’টার একটা সুন্দর নাম আছে। এটাকে ঠিক ফাংশন বলেনা। বরং “ফাংশনাল”-নামে ডাকলেই সে বেশি খুশি হয়। এক্ষেত্রে টার্মিনলজিটা জেনে রাখা মনে হয় একটু গুরুত্বপূর্ণ। একটা ফাংশন সাধারণত নাম্বারকে ইনপুট হিসেবে নিয়ে অন্য আরেক নাম্বারকে আউটপুট দেয়। কিন্তু একটা ফাংশনাল পুরো ফাংশনকেই ইনপুট নেয় এবং আউটপুট হিসাবে একটা নাম্বার দেয়। আমাদের দৈর্ঘ্যের সূত্রে  \(I\) নামের ফাংশনালটি \(f\) ফাংশনকে ইনপুট নিচ্ছে, এবং আউটপুট হিসেবে পথের দৈর্ঘ্য বের করে দিচ্ছে, যা শুধুই একটা নাম্বার।

আমাদের পূর্বনির্ধারিত প্ল্যান অনুযায়ী আমরা \(\frac{dI}{d\epsilon}\) বের করে ইকুয়াল টু জিরো বসিয়ে দেব। সেটাই করি।

 

$$ I = \int_{x=a}^{x=b} F(x,f,f’) dx \\ \implies \frac{dI}{d\epsilon} = \int_{x=a}^{x=b} \frac{d}{d\epsilon} \left( F(x,f,f’) \right) dx $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (5)$$

আমরা ক্যালকুলাসে চেইনরুল শিখেছি। চেইনরুল বলে, যেকোন ফাংশন \(f(x)\) এর ক্ষেত্রে

$$ \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial \eta} \frac{d\eta}{dx} + \frac{\partial f}{\partial \xi} \frac{d\xi}{dx} + \ldots  $$

যেখানে, \( (\eta, \xi, \ldots ) \) অন্য কোন কোঅর্ডিনেট সিস্টেম, বা আপাতত সোজা কথায় \(x\) এর অন্য কোন ফাংশন। তাহলে আমরা এভাবে \(F\) এর যেকোন ডেরিভেটেভকেও ডিকম্পোজ করতে পারি।

$$ \frac{dF}{d\epsilon} = \frac{\partial F}{\partial f} \frac{df}{d\epsilon} + \frac{\partial F}{\partial f’} \frac{d f’}{d\epsilon} $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (6)$$

ইকুয়েশন-৫ ‘কে ইকুয়েশন-৬ দিয়ে ঝালাই করে লিখে ফেলিঃ

$$ \frac{dI}{d\epsilon} = \int_{x=a}^{x=b} \left( \frac{\partial F}{\partial f} \frac{df}{d\epsilon} \right) dx + \int_{x=a}^{x=b} \left( \frac{\partial F}{\partial f’} \frac{d f’}{d\epsilon} \right) dx $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (7)$$

আমরা আগেই দেখেছি, \(\epsilon = 0\) নিয়েই আমরা আগ্রহী, কারন, আমরা এমন ভাবে পুরো ব্যাপারটা সাজিয়েছি, যাতে \(\epsilon = 0\)-তেই আমরা \(f(x) = B(x)\) পাই। তাহলে সেখানে \(df = dB\) । ইকুয়েশন-৭-এর ডানপক্ষে দুটো ইন্টিগ্রাল দেখতে বেশ বাজখাঁই লাগছে, তবে দুটোকেই সিমপ্লিফাই করে ফেলা যায়। ইকুয়েশন (4a)-তে \( \frac{df}{d\epsilon} = u(x)\) বের করে রেখেছি। সুতরাং বাম দিকের ইন্টিগ্রালটা দাঁড়াবে,

$$ \int_{x=a}^{x=b}  \frac{\partial F}{\partial f} \frac{df}{d\epsilon} dx = \int_{x=a}^{x=b}  \frac{\partial F}{\partial B} u \ dx$$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (8)$$

আর ডানেরটার জন্য, $$ f’ = B’ + \epsilon u’  \\ \implies \frac{df’}{d\epsilon} = \frac{dB’}{d\epsilon} + u’ = u’$$

কারন \(\epsilon\)-এর চেইঞ্জের সাথে \(B'(x)\) কোন সম্পর্ক নেই। \(\epsilon\) যেভাবেই বদলাক না কেন, \(B'(x)\) সবসময় বাকি সব কার্ভদের আদরের ছোটভাইয়ের ডেরিভেটিভই থেকে যাবে। অর্থাৎ \( \frac{dB’}{d\epsilon}  =0\) । আবার \(\epsilon = 0 \)-তে \(f = B \implies f’ = B’ \implies df’ = dB’\)

তাহলে ডানদিকের ইন্টিগ্রালঃ

$$ \int_{x=a}^{x=b} \left( \frac{\partial F}{\partial f’} \frac{d f’}{d\epsilon} \right) dx = \int_{x=a}^{x=b} \frac{\partial F}{\partial B’} u’ \ dx $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (9)$$

আমরা এটাকে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস করে ফেলব। সেই যে ছোটবেলার ফরমুলা, \( \int uv \ dx = u \int v dx -\int \left( u’\int v dx \right)dx \) । সেই অনুযায়ী, ইকুয়েশন-৯ দাঁড়াচ্ছে,

$$ \int_{x=a} ^{x=b} \frac{\partial F}{\partial B’} u’ dx \ \ = \ \ \frac{\partial F}{\partial B’} \int_{x=a} ^{x=b} u’dx \ \ – \ \  \int_{x=a} ^{x=b} \left[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial B’} \right) \int u’dx\right] dx $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (10)$$

এখন, \( \int_{x=a} ^{x=b} u’dx = [u]_a ^b = 0\). কারণ ইকুয়েশন (3a)-তে আমরা প্রমাণ করেছি, বাউন্ডারিতে ডেভিয়েশন ফাংশনের মান অবশ্যই জিরো। \( \therefore u(a) = u(b) = 0  \). তারমানে ইকুয়েশন-১০ এর ডানপক্ষে বামদিকের ইন্টিগ্রালটা ভ্যানিশ! বাকি থাকল শুধু ডানেরটা। স্কয়ার-ব্র্যাকেটের ভেতরের ইন্টিগ্রালটাতো কিছুই নাঃ \( \int u'(x) dx = u(x) \), আর বড় ইন্টিগ্রালটা নিয়ে তেমন কিছু করার নেই এই মুহুর্তে।

তাহলে ইকুয়েশন-৮ আর ইকুয়েশন-১০ -এর সাহায্যে ইকুয়েশন-৫ এর নতুন চেহারা হবেঃ

$$ \left[ \frac{dI}{d\epsilon} \right]_{\epsilon=0}= \int_{x=a}^{x=b} \frac{\partial F}{\partial B} u \ dx \  \  – \ \int_{x=a} ^{x=b} \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial B’} \right) \ u \ dx \\ = \int_{x=a}^{x=b} \left[ \frac{\partial F}{\partial B} \ – \  \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial B’} \right) \right]u \ dx $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (11)$$

আপনি যদি ওপরের ক্যালকুলেশন গুলো আমার সাথে সাথে করে এসেছেন, তাহলে অভিনন্দন। কারন আমরা সফল ভাবে \(I\) ফাংশনালটিকে \(\epsilon\)-এর স্বাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করার হার্কিউলিক কার্যটি সমাধা করে ফেলেছি। আমাদের উদ্দেশ্য ছিল, \(I\)-এর মিনিমা বের করা। তাহলে প্ল্যান মোতাবেক \(\frac{dI}{d\epsilon} = 0 \) বসিয়ে দিলে ইকুয়েশন-১১ এর বামপক্ষ ভ্যানিশ। সুতরাং,

$$ \int_{x=a}^{x=b} \left[ \frac{\partial F}{\partial B} \ – \  \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial B’} \right) \right]u \ dx  = 0 $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (12)$$

আমরা অলরেডি দেখেছি, \(u(x)\) ফাংশনটা \([a,b]\)-ইন্টারভেলের বাউন্ডারীতে অবশ্যই জিরো হবে। কিন্তু অন্য কোথাও জিরো হবে তার কোন গ্যারান্টি নেই। \(B(x)\) থেকে একেক পাথের ডেভিয়েশন একেক রকম হবে। তাই কোনভাবেই আমরা \(u(x)\) -কে ইন জেনারেল, জিরো বলতে পারবনা। কিন্তু ১২ নম্বর ইকুয়েশনটা তো সত্য! সুতরাং, তাকে সত্য বানাতে স্কয়ার ব্র্যাকেটের ভেতরের পুরো এক্সপ্রেশনটাকেই জিরো হতে হবে। অর্থাৎ,

$$ \frac{\partial F}{\partial B} \ – \  \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial B’} \right) = 0 $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (13)$$

মানব সভ্যতার ইতিহাসে যেই ইকুয়েশনগুলো সারা পৃথিবীকে জ্ঞানের ফলায় এফোঁড়-ওফোঁড় করে দিয়েছে, তাদের মধ্যে ওপরের ইকুয়েশনটি অন্যতম। এটির নাম অয়লার-লাগ্রাঞ্জে ইকুয়েশন। অসম্ভব ক্ষমতাধর, এবং অপূর্ব একটা লাইন। আনলাকি থার্টিন আমার কাছে ছোটবেলা থেকেই  কেন যেন শুভ। সেই ১৩ নম্বর ইকুয়েশনেই অয়লার-লাগ্রাঞ্জের দ্যাখা মিলল।

আমাদের বাকি কাজটুকু ছেলেখেলা। আমাদের উদ্দেশ্য ছিল ছোটভাই \(B(x)\)  -কে খুঁজে বেরকরা। তাকে পাকড়াও করার সবগুলো অস্ত্র আমাদের হাতে উপস্থিত। অয়লার-লাগ্রাঞ্জে ইকুয়েশনের যে \(F\), সেটা ছিল আমাদের \(I\) ফাংশনালের ইন্টিগ্র্যান্ড। এবং মনে আছে নিশ্চয়ই, যে পথের দৈর্ঘ্য মাপার ক্ষেত্রে সেটা ছিল, \( F = \sqrt{1+ (f'(x))^2 } = \sqrt{1+ (B'(x))^2 } \). মনে না পড়লে ইকুয়েশন-4b’র দিকে একবার তাকালেই হয়ে যাবে। \(\epsilon = 0\)’তে \(f’=B’ \) ব্যাপারটাকেও কাজে লাগালাম। এই \(F\)-কে আমরা অয়লার-লাগ্রাঞ্জে ইকুয়েশনে ঢুকিয়ে দিয়ে ছোটভাই \(B\) -কে বের করার চেষ্টা করব।

তাহলে সিম্পল ক্যালকুলেশন অনুযায়ী ,

$$ \frac{\partial F}{\partial B} = \frac{\partial}{\partial B} \left(\sqrt{1+ (B'(x))^2 } \right) = 0 $$

এবং

$$ \frac{\partial F}{\partial B’} = \frac{\partial}{\partial B’} \left(\sqrt{1+ (B'(x))^2 } \right) \\ = \frac{1}{2 \sqrt{1+B’^2}} (0 + 2B’)\\ = \frac{B’}{\sqrt{1+B’^2}} $$

সুতরাং অয়লার-লাগ্রাঞ্জে ইকুয়েশন দাঁড়ালো,

$$ 0 \ – \  \frac{d}{dx} \left( \frac{B’}{\sqrt{1+B’^2}} \right) = 0 \\ \implies \frac{d}{dx} \left( \frac{B’}{\sqrt{1+B’^2}} \right) = 0 $$

দ্যাখা যাচ্ছে, রাউন্ড ব্র্যাকেটের ভেতরের জিনিসটাকে \(x\)-এর স্বাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করলে শূণ্য পাওয়া যাচ্ছে। সুতরাং সেটা \(x\) -এর স্বাপেক্ষে একটা কন্সট্যান্ট।

$$  \frac{B’}{\sqrt{1+B’^2}} = constant $$

আমরা আজকের পোস্টের একদম শেষ প্রান্তে পৌঁছেছি। বহুল প্রতীক্ষিত ছোটভাই \(B\) -কে প্রায় ধরে ফেলেছি। শুধু উপরের ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনটা সল্ভ করলেই সব কাজ শেষ। ওটাকে দুপাশে বর্গ করে রিএ্যারেঞ্জ করে ফেলিঃ

 

$$ \frac{B’^2}{1+B’^2} = constant \\ B’ = \sqrt{ \frac{constant}{1-constant} }  = constant  $$

ধরাযাক সর্বশেষ কন্সট্যান্টটির নাম \(m\). তাহলে,

$$ B’ = m \\ \implies \frac{dB}{dx} = m \\ \implies dB = m \ dx  \\ \implies \int dB = m \int dx $$

$$ \therefore B = mx + c $$

সুতরাং \(P\) আর \(Q\)-এর মাঝে যতগুলো পথই আঁকা হোকনা কেন, তাদের মধ্যে শর্টেস্ট ডিসটেন্স, তাদের আদরের ছোটভাই \(B(x)\) আসলেই একটি সরলরেখা!

গণিতের চালচলন গুলো  যে এত এলিগ্যান্ট, সেটা দেখে মাঝে মাঝে আমি হাঁ করে বসে থাকি। তারপর ভাবি, যেই স্ট্রাকচারের ওপর মহাবিশ্ব নিজেই নিশ্চিন্তে দন্ডায়মান, তার তো সবকিছুরচাইতে স্মার্টই হওয়ার কথা। এতে অবাক হওয়ারই বা কী আছে?

 

 

ভালো থাকবেন।

: -)

 

 

 

.

Galib Hassan
Author: Galib Hassan

Mischief Managed.. 😉

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/kada-mati/3718/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

2 comments

  1. সুন্দর !

  2. অনেকগুলো ইক্যুয়েশন ঠিকমতো আসছে না ভাই। Undefined control sequence \ টাইপের জিনিস দেখাচ্ছে ইক্যুয়েশনের জায়গায়।

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading