রোটেশন-ফোটেশনের দিকে এখনি পা বাড়াতে চাচ্ছিলামনা। জিনিস গুলোকে আমি বড় ভয় পাই। কিন্তু জ্ঞান নাছোড়বান্দা হয়ে জুটেছে। এ্যাড়ানো কঠিন। ফাঁকতালে খানিক এ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম আর টর্কচর্চা করা যাক। একদম শেষে কিছু ভয়ানক উপহার অপেক্ষা করছে।

যা হোক, শুরু করছি। আগের পোস্টে আমরা পজিশন ডিপেন্ডেন্ট ফোর্সের কেচ্ছাকাহিনী আওড়াতে গিয়ে দেখেছি কিভাবে পটেনশিয়াল ফাংশনটা এসে হাজির হয়। যারা আগের পোস্টটা পড়েননি, তাদের জন্য সারমর্ম হলঃ পজিশন ডিপেন্ডেন্ট ফোর্স, $F(x)$ এর ক্ষেত্রে পটেনশিয়াল $U(x)$ হচ্ছে $F(x)=-\frac{dU}{dx}$ ।
ফোর্সের পজিশনডিপেন্ডেন্সের ধারনা থেকে এটা পরিষ্কার যে এরকম ফোর্সের জন্য পজিশনের একেক “পয়েন্টে” ফোর্সকে অনুভব করার ব্যাপারটা একেক রকম। একটা পার্টিকেলকে (বা বস্তুকে, বা বস্তাকে) যদি আমরা ঐ ফোর্সের ক্রিয়াক্ষেত্রে ছেড়ে দেই, তাহলে প্রথমে পার্টিকেলটা হয়ত একদিকে যাবে, একটু পরে নতুন পজিশনে গিয়ে হয়ত সে অন্যরকম একটা ফোর্স অনুভব করবে, তাই তার দিক হয়ত পরিবর্তিত হয়ে যাবে। ব্যাখ্যাটা আরও ভাল শোনাবে, যদি আমি বলি, পার্টিকেলটা একটা ফোর্সফীল্ডের মধ্যে এসে পড়েছে। এবং সেই ফীল্ডের আদেশনির্দেশ অনুযায়ীই সে ঘোরাফেরা করছে।
ফীল্ডের তো অনেক রকমফেরই হতে পারে। তো এবার একটা স্পেশাল কেসের দিকে তাকাতে চাই। ধরাযাক, ফোর্সফীল্ডটা এমন, যে এর মধ্যে কোন বস্তুবস্তা এসে পড়লে সে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে নিশ্চিন্তে একটা নির্দিষ্ট পয়েন্টকে কেন্দ্র করে গোল হয়ে ঘুরতে থাকবে। বস্তুবেচারাকে বৃত্তাকারে ঘুরতে দিয়ে আমরা কিছু অংক কষে ফেলি।
গোল্লা-গোল্লা জিনিসপত্র নিয়ে কাজ করার নেচারাল চয়েস হচ্ছে স্ফেরিকাল-পোলার কোঅর্ডিনেট। আপাতত দুইমাত্রাতেই থাকছি। অর্থাত ধরেনিচ্ছি, আমাদের বস্তুবস্তা $xy$-প্লেনেই ঘুরবে। $z$-ডিরেকশনে তার কোন নড়াচড়া হবেনা। মানে স্ফেরিকালও দরকার নেই, পোলার কোঅর্ডিনেটই যথেষ্ট ($ x = r \cos\theta, y = r \sin \theta $)। তাহলে চেইনরুল বলে,
\begin{eqnarray}
dx = \frac{\partial x}{\partial r} dr + \frac{\partial x}{\partial \theta} d\theta \nonumber \\
dy = \frac{\partial y}{\partial r} dr + \frac{\partial y}{\partial \theta} d\theta
\label{eq:coordinateTransf}
\end{eqnarray}
এবার যেকোন একটা স্পেসিফিক পয়েন্ট ধরে নেয়া যাক। তাহলে সেই পয়েন্টে পার্টিকেলকে বসালে সে সিম্পলি বৃত্তাকার পথে একটু ঘুরে নতুন পজিশনে যাবে। তাতে তার $\theta$ বদলাবে ঠিকই, কিন্তু যে পয়েন্টে সে বসে আছে, অরিজিন থেকে তার দূরত্বও কিন্তু একই থাকবে। অর্থাৎ রেডিয়াস $r$-এর কোন চেইঞ্জ হবেনা। মানে আমাদের এই স্পেশাল কেসে, $dr = 0$. তাহলে ইকুয়েশন \eqref{eq:coordinateTransf} দঁড়াচ্ছেঃ
\begin{eqnarray}
dx = \frac{\partial x}{\partial \theta} d\theta = \frac{\partial}{\partial \theta} (r \cos\theta) \ d\theta
= -r \sin\theta \ d\theta = -y \ d\theta
\nonumber \\
dy = \frac{\partial y}{\partial \theta} d\theta
= \frac{\partial }{\partial \theta} (r\sin \theta ) d\theta = r \cos \theta \ d\theta = x\ d\theta
\label{eq:dxdyForTangentialForce}
\end{eqnarray}
উপরের আলোচনাকে একটু বিশ্রামে পাঠিয়ে কাজ নিয়ে একটু কথা বলতে চাই। আগের পোস্ট গুলোতে আমরা কাজকে ওয়ার্ক-এনার্জি থিওরেম দিয়ে ডিফাইন করেছি। এবং বলেছি, গতিশক্তি যতটুকু চেইঞ্জ হবে, ততটুকুই হচ্ছে কাজের পরিমান। এবং কাজের আগের সংজ্ঞাটা ছিলঃ
\begin{eqnarray}
W = \int dW = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx
\end{eqnarray}
কিন্তু সেতো ছেলেবেলার ওয়ান ডাইমেনশনাল মোশনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এখন আমরা বড় হয়েছি। ডাইমেনশন বেড়েছে। স্বভাবতই বল, সরণ-এগুলো যে থ্রিডাইমনশনাল ভেক্টর, সে ব্যাপার গুলো এক্সপ্লিসিটলি মাথায় আনতে হবে। এখন কিভাবে কাজকে ডিফাইন করব?
আইডিয়া! কাজকে একই ভাবেই ডিফাইন করি। শুধু ফোর্সকে লিখি $\vec{F}$ আর সরণকে লিখি $\vec{l}$, এবং মাঝের অশরীরী গুনন চিহ্নটাকে মর্তে নামিয়ে ওটাকে ডট গুনন আখ্যা দিয়ে দেখি কী হয়।
\begin{eqnarray}
W = \int dW = \int \vec{F} \cdot d\vec{l}
\label{eq:defWork3d}
\end{eqnarray}
$\vec{l} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ হল এখানে সরণ। তাহলে কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেটে,
\begin{eqnarray}
\vec{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j} + F_z \hat{k}
\nonumber \\
d\vec{l} = dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}
\nonumber \\
\vec{F} \cdot d\vec{l} = F_x d_x + F_y d_y + F_z d_z
\end{eqnarray}
আমাদের ক্ষেত্রে $z$-অক্ষের মামলা নেই। তাই ইকুয়েশন \eqref{eq:dxdyForTangentialForce} ‘কে কাজে লাগিয়ে আমাদের কাজ হল,
\begin{eqnarray}
dW = \vec{F} \cdot d\vec{l} = (F_x dx + Fy dy)
= F_x (-y d\theta) + F_y (x d\theta)
\nonumber \\
\implies dW= (x F_y – y F_x) \ d\theta
\label{eq:crossProdindW}
\end{eqnarray}
ইকুয়েশন \eqref{eq:crossProdindW} এর ডানদিকে ব্র্যাকেটের রাশিটির দিকে তাকান। আমার তো কেমন “দেখে যেন মনে হয় চিনি উহারে” অনুভুতি হচ্ছে! ওটাকে একটু ক্রসপ্রোডাক্টের মত লাগছেনা? নিশ্চয়ই! $\vec{F}\times \vec{l}$ এর ছোটবেলার সেই ডিটারমিনেন্টওয়ালা সংজ্ঞা খাটিয়ে একবার লিখে দেখুন, মূহুর্তেই বোঝা যাবে যে ব্র্যাকেটের মধ্যেকার জিনিসটা আসলে $\vec{F}\times \vec{l}$ এর $z$-অক্ষ বরাবর কম্পোনেন্ট। এই ক্রস প্রডাক্টটার আকীকা করে ফেলা যাক। এটার নাম রাখলাম টর্ক ($\tau$). পজিশন ভেক্টরকে $\vec{l}$ লিখতেও আর ভাল লাগছেনা। বরং লিখি $\vec{r}$. তাহলে
\begin{eqnarray}
\tau =: \vec{r} \times \vec{F}
\label{eq:torqueDef}
\end{eqnarray}
এখন পর্যন্ত শুধুই ডেফিনিশন। টর্কের আর কোন মহাত্ম এখনো খুঁজে পাইনি। আবার,
$$F = m\ddot{x} = m\dot{v} = \frac{d}{dt}(mv) = \frac{d}{dt}(p) = \dot{p}$$
তাহলে ইকুয়েশন \eqref{eq:torqueDef} দাঁড়ায়,
\begin{eqnarray}
\tau = \vec{r} \times \dot{\vec{p}}
\label{eq:torqueDefInMomentum}
\end{eqnarray}
ভরবেগ (Momentum)’কে $\vec{p}$ দিয়ে লিখলাম। এখন টাইম-ডেরিভেটিভ দেখে আবারও যাদের অংক করতে ইচ্ছে করছে তাদের জন্য প্রশ্ন – মোমেন্টাম $p$-এর ওপরের ঐ ডট-টাকে পুরো $\vec{r}\times \vec{p}$ এর উপর নিয়ে আসতে গেলে কী করতে হবে? খুবই সহজ কাজ। $\vec{r}\times \vec{p}$ এর টাইমডেরিভেটিভটাই বের করে ফেলিঃ
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}(\vec{r}\times \vec{p})
= \dot{\vec{r}}\times \vec{p} \ + \ \vec{r}\times \dot{\vec{p}}
\label{timeDervOfAngularMomentum}
\end{eqnarray}
কিন্তু
$$\dot{\vec{r}}\times \vec{p}
= \dot{\vec{r}}\times m\vec{v}
= m\ \dot{\vec{r}}\times \dot{\vec{r}}
= 0
$$
তাহলে ইকুয়েশন \eqref{timeDervOfAngularMomentum} দাঁড়াচ্ছে,
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}(\vec{r}\times \vec{p})= \vec{r}\times \dot{\vec{p}}
\end{eqnarray}
সুতরাং মোমেন্টামের ঐ টাইমডেরিভেটিভটাকে বাইরে আনতে কিছুই করতে হবেনা। এই $\vec{r}\times \vec{p}$ ভেক্টরটাকে এখন থেকে $\vec{L}$ দিয়ে লিখবঃ
\begin{eqnarray}
\vec{L} =: \vec{r}\times \vec{p}
\end{eqnarray}
আমি ডেফিনিশনের ক্ষেত্রে “=:” চিহ্নটা ব্যবহার করছি। তাহলে,
\begin{eqnarray}
\vec{\tau} = \dot{\vec{L}}
\label{eq:angMomentumDef}
\end{eqnarray}
তো যাহোক, $\vec{L}$ এর একটা যোগ্য নাম খুঁজে বার করা দরকার। টর্কের সংজ্ঞার দিকে তাকিয়ে দেখুন। $\vec{\tau}$ হল পজিশন ভেক্টরের সাথে ফোর্সের ক্রস। আবার $\vec{L}$ হল পজিশন ভেক্টরের সাথে মোমেন্টামের ক্রস। তাহলে ইকুয়েশন \eqref{eq:angMomentumDef} আসলে সুযোগ বুঝে ফোর্স আর মোমেন্টামের মধ্যেই একটা সম্পর্ক ঘোষনা করছে। ফোর্স আর মোমেন্টামের মধ্যে আমরা একটা সম্পর্ক ছোটবেলা থেকেই জানিঃ $\vec{F} = m\vec{a} = \dot{\vec{p}}$. আসলে ইকুয়েশন \eqref{eq:angMomentumDef}-ই হচ্ছে $F=ma$-এর এ্যাঙ্গুলার এ্যানালগ। টর্ক-ই ফোর্সের কৌণিক প্রতিচ্ছবি, এবং $\vec{L}$ হচ্ছে ভরবেগের। তাই $\vec{L}$-এর একমাত্র যোগ্য নাম হল কৌণিক ভরবেগ বা এ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম। জিনিসটা তেমন ইনটিউইটিভ না যতখন না ইকুয়েশেনগুলোর দিকে তাকানো হয়।

এবার এই টর্ক এবং এ্যাঙ্গুলার মোমেন্টামের আইডিয়াকে জেনেরিকালি প্রকাশ করতে চাই।
ধরাযাক একটা বস্তু থ্রিডি-স্পেসে ছোটাছুটি করছে। তার এই মূহুর্তে বেগ $\vec{v}$ এবং মোমেন্টাম (বা লিনিয়ার মোমেন্টাম বা রৈখিক ভরবেগ – যা-ই বলি না কেন) $\vec{p}$. সে এই মূহুর্তে $A$ বিন্দুতে অবস্থান করছে। এখন, স্পেসে যেকোন একটা বিন্দু $Q$ বেছে নিলাম। $Q$ থেকে বস্তুর পজিশন $A$ পর্যন্ত একটা ভেক্টর আঁকলাম, নাম রাখলাম $\vec{r}$. এখন $Q$ বিন্দুর স্বাপেক্ষে বস্তুটির এ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম হবেঃ
\begin{eqnarray}
\vec{L}_Q = \vec{r} \times \vec{p}
\label{eq:angMomentumInGeneral}
\end{eqnarray}
নিচের ছবিটার দিকে তাকালেই বোঝা যাবে, আমরা যদি $Q$-বিন্দুটাকে বিভিন্ন জায়গায় বেছে নেই, তাহলে তার স্বাপেক্ষে বস্তুটার এ্যাঙ্গুলার মোমেন্টামও বিভিন্ন হবে।

সুতরাং, এই $\vec{L}$ জিনিসটা আসলে বস্তুর ইন্ট্রিন্সিক কোন প্রপার্টি না। লিনিয়ার মোমেন্টাম কিন্তু ইন্ট্রিন্সিক। স্পেসের যে পয়েন্টই বেছে নিন না কেন, সবার স্বাপেক্ষেই বস্তুর লিনিয়ার মোমেন্টাম একই। কিন্তু এ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম, ইন জেনারেল, এক না।

টর্কের ব্যাপারটাও তাই। কারন $Q$ বিন্দুর স্বাপেক্ষে টর্ক,
\begin{eqnarray}
\vec{\tau}_Q = \dot{\vec{L}_Q} = \vec{r} \times \dot{\vec{p}}
\label{eq:TorqueInGeneral}
\end{eqnarray}
এবং স্বভাবতই সেটা $Q$ বিন্দুর উপর নির্ভর করছে।

একটা ব্যাপার তো ভুলেই গিয়েছিলাম। ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র। আমরা স্কুলে পড়েছি, একটা সিস্টেমের উপর যদি কোন এক্সটার্নাল ফোর্স (বাহ্যিক বল) কাজ না করে, তাহলে সিস্টেমের টোটাল মোমেন্টাম কনস্ট্যান্ট থাকে। আমরা রকেট যে এই নীতি অনুসারেই আকাশের দিকে লম্ফ দেয়, ছোটবেলায় এটাও আমরা পরীক্ষায় লিখেছি। এই ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্রের মত এ্যাঙ্গুলার মোমেন্টামেরও কি কোন সংরক্ষণ সূত্র আছে? নিশ্চয়ই আছে, এবং সেটা বস্তুত একই কথা। এক্সটার্নাল কোন টর্ক সিস্টেমের উপর কাজ না করলে তার সিস্টেমের এ্যাঙ্গুলার মোমেন্টামের কোন চেইঞ্জ হবেনা। এ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম কনজার্ভড থাকবেঃ
\begin{eqnarray}
\vec{\tau} = 0 \implies
\vec{r}\times \dot{\vec{p}} = 0
\implies \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p}) = 0
\implies \vec{r} \times \vec{p} = constant \nonumber \\
\therefore \ \vec{\tau} = 0 \implies \vec{L} = constant
\label{eq:conservtnAngMom}
\end{eqnarray}

এই \eqref{eq:conservtnAngMom} নম্বর সমীকরণটি বেশ গুরুত্বপূর্ণ। কেন গুরুত্বপূর্ণ, সেটা এখন বলবনা। এই টর্ক, এ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম এসব নিয়ে আরও অনেক কথা বলার আছে যখন রোটেটিং ফ্রেম নিয়ে গল্প হবে তখন। আপাতত সেসব থাক। অন্য একটা মজার কথা বলি।

বিভিন্ন সিস্টেমে মাঝে মাঝেই এধরনের কিছু কোয়ান্টিটি পাওয়া যায়, যেগুলো কনজার্ভড থাকে। অর্থাৎ, সিস্টেমের ইভলিউশনের সাথে সাথে তারা বদলায়না। এই কনজার্ভড কোয়ান্টিটি নিয়ে ফিজিসিস্টদের মাতামাতির শেষ নেই। যাঁরা ডিফারেনশিয়াল জিওমেট্রি করেন, তাদের অনেকের কাছেও এগুলো লোভনীয়। আমরা আগের পোস্ট গুলোতে মেক্যানিকাল এনার্জিকে কনজার্ভড হতে দেখেছি। আজকে এ্যাঙ্গুলার মোমেন্টামকে দেখলাম। ভবিষ্যতে যদি কোয়ান্টাম মেক্যানিক্স নিয়ে আড্ডা জমে, তাহলে দেখব, হ্যামিল্টনিয়ান নামক এক রহস্যময় বস্তুর সাথে কিছু কমিউট করলেই তা কনজার্ভড হয়ে যাবে। আমার মাঝে মাঝে মনে হয়, এই কনজার্ভড কোয়ান্টিটির আইডিয়া থেকেই ফিজিক্সের স্মার্টনেসে একটা নতুন মাত্রা যোগ হয়েছে। মাত্রাটা যোগ করেছেন এমি ন্যোঠার (Emmy Noether). তিনি ম্যাথম্যাটিকালি বের করেছেন যে সিস্টেমে যদি সিমেট্রি থাকে, তাহলেই সেখানে অবশ্যই কনজার্ভড কোয়ান্টিটি পাওয়া যাবে। যাঁরা এই বাক্যটা পড়ে কিছুই বুঝলেননা, তাঁদের জন্যই আসলে আমার ফিজিক্স নিয়ে এই লেখা গুলো। আমি আমার পাঠককে গণিত ও পদার্থবিদ্যার সেই চরম গ্ল্যামারাস পর্যায়ে নিয়ে যেতে চাই যেখানে পৌঁছে তাঁদের চোখ চকচক করে উঠবে। মনে হবে, আহ! এই অপূর্ব পৃথিবীতে কত কাজ বাকি পড়ে আছে !

যাব আমরা সেখানে একদিন নিশ্চিত।
সঙ্গে থাকুন।
: -)

.

Author: Galib Hassan

Mischief Managed.. 😉