আজকের আড্ডা পজিশন ডিপেন্ডেন্ট ফোর্স \(F(x)\) নিয়ে। আগের পোস্টের মত এবারও ধরে নিচ্ছি আমাদের বস্তু বা বস্তা সরলরেখা বরাবর নড়াচড়া করবে এবং ভুলেও ঘুরবে না।

আমরা এর আগে কন্সট্যান্ট ফোর্স \(F\)’কে পজিশনের স্বাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করে কাজ, শক্তি এসব পাকড়াও করেছি। প্রশ্ন হল পজিশন ডিপেন্ডেন্ট ফোর্স \(F(x)\)-এর জন্যও ওসব সংজ্ঞা কী একই থাকবে? আমরা কাজ দিয়ে শুরু করি। কাজের সংজ্ঞায় আমরা তেমন কোন পরিবর্তন আনবনা। আমরা বলব, \(F(x)\) কে পজিশনের স্বাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করলেই সেটা হবে কাজঃ

$$ W = \int_{x_1} ^{x_2} F(x) dx \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1) $$

আমরা যদি আগের পোস্টের  ওয়ার্ক-এনার্জি থিওরেমকেও সত্য ধরে নেই, তাহলে ঘটনা দাঁড়াবেঃ
$$ W = \int_{x_1} ^{x_2} F(x) dx = \frac{1}{2}m v_2 ^2 – \frac{1}{2}m v_1^2 \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) $$

কাইনেটিক এনার্জিকে দাঁড় করানো গেল। কিন্তু পটেনশিয়াল এনার্জি? এইবেলা, ব্যাপারটা একটু ট্রিকি। গত পোস্টের ইকুয়েশন(৮)-এ পটেনশিয়াল এনার্জি পাওয়া গিয়েছিল ত্বরণকে কন্সট্যান্ট ভেবে ফোর্সকে পজিশনের স্বাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করে। এবারও ভাবা যাক, ফোর্সের সেই ইন্টিগ্রেশনেই কিছু একটা পাওয়া যাবে। স্বভাবতই সেটা হবে \(x\)-এর ফাংশন। তাহলে সেই ফাংশনটিকে, ডিফারেনশিয়েট করলেও ফোর্স \(F(x)\)-ই ফিরে আসবে। একমত?

\(x\)-এর সেই ফাংশনটার নাম দেওয়া যাক \(U(x)\). আমাদের প্ল্যান মোতাবেক, ওটাকে ডিফারেনশিয়েট করলে ফোর্স পাওয়া যাবে। এক রহস্যময় কারণে ডেরিভেটিভটার সামনে একটা মাইনাস সাইন বসানো হয়। এই রহস্য কিছুখন বাদে উদ্ঘাটিত হবে।
$$ F(x) = \ – \frac{dU}{dx} \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3) $$

উপরের সংজ্ঞাকে ইন্টিগ্রেট করে দিলে,
$$ \int_{x_1} ^{x_2} F(x) dx = -\int_{U_1} ^{U_2} dU = -(U_2-U_1) = -\left[U(x_2) – U(x_1)\right] \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (4) $$

ইকুয়েশন (২) আর (৪) ‘কে মিলিয়ে দিচ্ছিঃ
$$ \int_{x_1} ^{x_2} F(x) dx = \frac{1}{2}m v_2 ^2 – \frac{1}{2}m v_1^2 = -\left[U(x_2) – U(x_1)\right] \\
\frac{1}{2}m v_1^2 + U(x_1) = \frac{1}{2}m v_2 ^2 + U(x_2) = \ldots = constant = E \\
\therefore K + U = E  \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (5) $$

শক্তির নিত্যতার সূত্র হাজির! \(U(x)\)-এর সংজ্ঞায় মাইনাসটা না বসালে কাইনেটিক এনার্জি, \(K\) আর পটেনশিয়াল এনার্জি \(U\) মাঝখানে সেই বেয়াদব মাইনাস দাঁত কেলিয়ে বসে থাকত। এই হল রহস্য। (কেন যেন মনে হচ্ছে, এই মাইনাসের আরও কিযেন একটা কারণ পড়েছিলাম কোথাও। মনে পড়লে লিখে ফেলব।)

এতক্ষণ \(U(x)\) ধরি মাছ না ছুঁই পানি করেছি। আর না। এটাকে মানুষ পটেনশিয়াল, পটেনশিয়াল ফাংশন – ইচ্ছেমত নামে ডাকে। এটার ডাইমেনশন এনার্জির ডাইমেনশন। তাই নির্দ্বিধায় এটাকে পটেনশিয়াল এনার্জি নামেও ডাকা যায়।

এবার একটা মজা করা যাক। আসলেই সময় পেরুলে শক্তি একই থাকে কিনা দ্যাখা যাকঃ
\begin{eqnarray}
\frac{dE}{dt} &=& \frac{dK}{dt} + \frac{dU}{dt} \nonumber \\
&=& \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2} m v^2 \right) + \frac{dU}{dt}  \nonumber \\
&=& \frac{d}{dv} \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) \frac{dv}{dt} + \frac{dU}{dx} \frac{dx}{dt} \nonumber \\
&=& mv \frac{dv}{dt} – F(x) \ v = v \ ma – Fv \nonumber \\
&=& vF -Fv \nonumber \\
&=& 0 \nonumber
\end{eqnarray}

সারপ্রাইজড? মজাটা হল, এপ্রিলফুল করলাম আরকি। এটা তো হবেই! কারন প্রথম থেকেই ধরে আসছি আমাদের ফোর্সের কোন টাইম ডিপেন্ডেন্স নেই। সময়ের স্বাপেক্ষে ওগুলোকে ডিফারেনশিয়েট করলে তো জিরো পাওয়া যাবেই। হেহেহে।

এই মজা করার উদ্দেশ্য হচ্ছে কনজার্ভেটিভ ফোর্সকে ডিফাইন করা। আমরা দেখতে পেলাম, ফোর্সের টাইম ডিপেন্ডেন্স না থাকলে মেক্যানিকাল এনার্জির কোন চেইঞ্জ হয়না। একটু সুন্দর করে বললে দাঁড়ায়ঃ এই ক্ষেত্রে মেক্যানিকাল এনার্জি কনজার্ভড থাকে। ফোর্স এক্সপ্লিসিটলি  সময়ের উপর নির্ভর করলেই এই ঘটনা আর সত্য হয়না। অর্থাৎ মেক্যানিকাল এনার্জি কনজার্ভড থাকেনা। তো যেসব ফোর্সের কারণে মেক্যানিকাল এনার্জি কনজার্ভড থাকে, সেই ফোর্সগুলিকে আদর করে কনজার্ভেটিভ ফোর্স নামে ডাকা হয়।

একটা জিনিস পরিষ্কার। কান হিসেবে পজিশন ডিপেন্ডেন্ট ফোর্সের গল্প টানলেই মাথা হিসেবে পটেনশিয়াল ফাংশন এসে হাজির । ভাবছিলাম, এই পোস্টেই পটেনশিয়াল নিয়ে যা জানি উগড়ে দেব। কিন্তু দেখলাম, এটা অন্যায় হয়ে যাবে। পটেনশিয়াল জিনিসটা নিয়ে সিরিয়াস আলোচনা যথেষ্ট গুরুত্বপূর্ণ। একটা পার্টিকেল যখন সরলছন্দিত স্পন্দনে নড়া চড়া করে, তখন তার উপর একটা পজিশন-ডিপেন্ডেন্ট ফোর্স কাজ করে। গ্রহ গুলো যখন তাদের নিজেদের বস দের চারপয়াশে ঘুরঘুর করে, তখন তাদের উপরেও এরকম পজিশন-ডিপেন্ডেন্ট ফোর্স কাজ করে। স্বভাবতই পটেনশিয়ালের একটা ব্যাপার এসব ক্ষেত্রে চলে আসবে।

নাহ। ব্যাপারটা বিশাল। বাকি কথা পরের পোস্টে।

সেপর্যন্ত ভাল থাকবেন।

: -)

.

Author: Galib Hassan

Mischief Managed.. 😉