Frog on a long: Infinite Convergent Series

শীতকাল এলেই যেন আমাদের দেশে বিয়ে শাদীর ধুম পড়ে যায়। কেন, কি কারণে এটি হয় সেটি না হয় আমরা পড়ে আলোচনা করবো একদিন। যাইহোক, বিয়ে শাদীতে বরপক্ষকে শ্যালক-শ্যালিকাদের গেট আটকানোর রীতি অনেক পুরনো। কত শত কথা, কায়দা ফন্দি ফিকির করে তারা হবু দুলাভাইয়ের পকেট কাটে! তবে আগের দিনে এই বিয়ের গেটে শুধু টাকা পয়সারই লেনদেন হতো না, আরো অনেক মজার ঘটনা ঘটত। কোন কোন এলাকায় ইংরেজি কথা বলার চল ছিলো। এক পক্ষের টার্গেট থাকত অন্য পক্ষকে ইংরেজিতে কথা বলে আটকে দেওয়া। অনেক লোক ছিল যারা ভাল ইংরেজি জানার কারণে এলাকার সব বিয়েতেই বরযাত্রী হিসেবে দাওয়াত পেত। ইংরেজি বলার পাশাপাশি আরেকটি বিষয় প্রচলিত ছিল, ধাঁধার খেলা। বরপক্ষ যদি কনে পক্ষের ধাঁধার উত্তর দিতে পারত তবে গেট পার হতে অল্প কড়ি খরচ করলেই পার পেয়ে যেত। সেরকমই একটা ধাঁধা নিয়ে আজকের লেখা। আপনারাও হয়ত এটি প্রয়োগ করে দেখতে পারেন। কত বিষয়ই তো কাল থেকে কালান্তরে আবর্তিত হয়।

সাপ আর ব্যাঙের প্রতিযোগিতা চিরন্তন। সাপ শিকারি আর ব্যাঙ শিকার। ঝোপ ঝাঁরে মাঝে মধ্যেই সাপকে ব্যাঙের পিছনে ছুটে বেড়াতে দেখা যায়। ধরা যাক, কোন একটি অভুক্ত সাপ অদূরে একটি ব্যাঙ দেখে তার পিছু নিল। ব্যাঙ মশাই ছুটতে ছুটতে $x$ মিটার দীর্ঘ একটি লগের $($লম্বা একটি পাইপ$)$ সামনে এসে পিছন ফিরে দেখলো সাপ তার থেকে অনেক দূরে আছে। লগটি পার হলেই সাপ আর ব্যাঙ কে ধরতে পারবে না। এমন অবস্থায় ব্যাঙের আত্মবিশ্বাস বেড়ে গেল। সে ভাবল, বেটা সাপকে একটু অংক শেখানো যাক। লগের শুরুর প্রান্তে দাঁড়িয়ে সে চিন্তা করলো প্রতি লাফে সামনে যে দৈর্ঘ্য আছে তার অর্ধেক যাবে। অর্থাৎ প্রথম লাফে $\frac{x}{2}$ দূরত্ব অতিক্রম করবে। পরের লাফে $\frac{\frac{x}{2}}{2}$ অর্থাৎ $\frac{x}{4}$ দূরত্ব অতিক্রম করবে। সাপটি তার গতি একই রকম রাখবে। এখন প্রশ্ন হলো লগটি পার হতে ব্যাঙের কতগুলো লাফ দিতে হবে এবং সাপকি ব্যাঙের এই নাটক এবং সকল প্রকার ষড়যন্ত্র বাঞ্চাল করে দিয়ে কুপোকাত করতে পারবে??

চলুন একটু অংক করে দেখি। লগের মোট দৈর্ঘ্য $x$। প্রথম লাফে সে $\frac{x}{2}$ দূরত্ব অতিক্রম করে. দ্বিতীয় লাফে $\frac{x}{4}$। সুতরাং প্রতি লাফে অতিক্রান্ত দূরত্ব দিয়ে আমরা একটা ইনফাইনাইট সিকুয়েন্স তৈরী করতে পারিঃ $(\frac{x}{2}, \frac{x}{4}, \frac{x}{8}, \frac{x}{16}…..)$। সিকুয়েন্সের টার্মগুলো যোগ করে একটা ইনফাইনাইট সিরিজ তৈরী করে দেখা যাক জগাখিচুরি কি হয়। ধরা যাক $S_{\infty}$ হচ্ছে আমাদের জগাখিচুড়ির যোগফল। সুতরাং

$S_{\infty} = \frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+\frac{x}{16}+….. $ । বুললে তো দাদা বুইলবেন বুইলছি। সিরিজ যেহেতু চলে এসেছে সেহেতু এটি কনভার্জেন্ট না ডাইভারজেন্ট সেটিও তো চিন্তা করতে হবে নাকি!! কনভার্জেন্ট ডাইভার্জেন্ট টেষ্ট করার জন্য বাজারে অনেক জিনিস পাওয়া যায়। যেমন Comparison test, Ratio test, Root test, Integral test, Limit comparison test, Alternating series test, Cauchy condensation test, Dirichlet’s test, Abel’s test, ইত্যাদি ইত্যাদি। সব রিয়াল অ্যানালাইসিসের ব্যাপার স্যাপার। অত জটিক কুটিল হিসাবে যাওয়ার দরকার নাই, আমরা ডাইল দিয়া ভাত খাই, সোজা পথে হাইটা যাই। সহজ একটা টেষ্ট করি, Ratio test $($বাকিগুলা আসলে আমি ভুলে গেছি 😛 $)$

যেহেতু আমরা দূরত্ব নিয়ে কাজ করছি সেহেতু সিকুয়েন্সের যেকোন টার্ম $a_{n} >0$ । সুতরাং,

$$\lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=
\lim_{n\to\infty} |\frac{\frac{x}{4}}{\frac{x}{2}}|=
\lim_{n\to\infty} |\frac{\frac{x}{8}}{\frac{x}{4}}| =|\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}<1$$

ঘটনা ঘটে গেছে, সিরিজ কনভারজেন্ট কারণ পাশাপাশি যেকোন দুইটি টার্মের অনুপাতের পরম মান ১ থেকে ছোট। অর্থাৎ সিরিজটি Absolutely Convergent.

\begin{align*}
S_{\infty} &= \frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+\frac{x}{16}+….. \\
&=\frac{x}{2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+……)\\
&=\frac{x}{2} \lim_{k\to\infty} (1+(\frac{1}{2})^1+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+…….+(\frac{1}{2})^k)\\
&= \frac{x}{2} \lim_{k\to\infty} \frac{1-(\frac{1}{2})^{k+1}}{1-\frac{1}{2}}\\
\end{align*}

যদি $k$ এর মান ক্রমান্বয়ে বাড়তে থাকে তাহলে $(\frac{1}{2})^{k+1}\rightarrow 0$ । অতএব,
\begin{align*}
S_{\infty} &= \frac{x}{2} \lim_{k\to\infty} \frac{1-(\frac{1}{2})^{k+1}}{1-\frac{1}{2}} \\
&= \frac{x}{2} \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\
&=\frac{x}{2}\frac{1}{\frac{1}{2}}\\
&=x
\end{align*}

তাহলে ঘটনা কি দাঁড়ালো?

হ্যা সাপ ব্যাঙ কে ধরে ফেলেছে। কারণ ব্যাঙ যদিও অসংখ্য লাফ দিয়েছে তথাপি সে আসলে
$x$ দৈর্ঘ্যের লগটিই অতিক্রম করেছে। এদিকে সাপ কিন্তু তার গতি থামায়নি। ব্যাঙ লাফাতে লাফাতে লগের শেষ প্রান্তে চলে এসেছে আর সাপ চেলচেলিয়ে একই গতিতে এসে শেষ প্রান্তে এসে ঘোপ করে ব্যাঙকে ধরে ফেলেছে।

সুতরাং উপসংহারে আমরা কি জানলাম? বিপদের সময় বেশি অংক করা যাবে না, অংক করতে গেলে মরতে হবে। আর এই ধাঁধা বিয়ে বাড়িতে ব্যবহারের সতর্কবার্তা হচ্ছে, খেয়াল করতে হবে বিপরীত পক্ষে যেন কোন গণিতবদ না থাকে 😀

 

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/rafiq/4727/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

1 comments

  1. এই নিঃকষ শীতের দারুণ সময়ে এমন রসালো মন্তব্য লেখক মনে যথেষ্ট পূলক জন্ম দেয়, ধন্যবাদ না দিয়ে পারা গেল না।

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading