কেন এনালাইসিস গুরুত্বপূর্ণ ??

আমাদের সকলেরই একটা কমন প্রশ্ন কেন এনালাইসিস পড়তেছি? আমরাকি সূক্ষ্মভাবে খেয়াল করেছি এনালাইসিস আমরা প্রতিটা বিষয়েই ব্যাবহার করতেছি, হয় বুঝে অথবা না বুঝেই !! ধরা যাক একটা বিষয় পার্শিয়াল ডিফারেন্সিয়াল ইকুয়েশন !! এর একটি বিষয় হিট ইকুয়েশন অথবা ডিফিউশন ইকুয়েশন !! কি এই ডিফিউশন !! সিম্পল ভাবে এর বাংলা ছড়িয়ে পড়া !! কি ছড়িয়ে পড়বে? কতটুকু যায়গায় তা ছড়াবে এবং তা কত সময়ের মধ্যে ?? এর সবকিছুর microscopic একটা ব্যাখ্যা আছেই ম্যাথমেটিক্স এ !! আর এই microscopic ব্যাখ্যার জন্য আমাদের জানা লাগবে, স্পেস, ডাইমেনশন, টপোলজি, স্মুদনেস, কানেক্টেডনেস প্রোপার্টি !! কিভাবে? আজ একটু ধারনা দিব !! আমি জানি অনেকেই জানে আবার হয়ত জানেনা !! তাই লিখতে চাওয়া !! আমি তেমন বিজ্ঞ না !!

ধরাযাক, একটি কাঁচের জগে ১ লিটার পানি আছে !! এখন এখানে দুই ফোটা কলমের কালি দিলে তা আস্তে আস্তে ১লিটার পানিটাকে কলমের কালির রঙ্গে রুপান্তরিত করে !! তার মানে কি দাঁড়ালো কালিটি পানিতে ছড়িয়ে পড়েছে মানে ডিফিউসড হয়েছে !! আচ্ছা তাহলে প্রথমেই যে ধারণা আসতেছে কালিই কেন ছড়ালো? কারণ ক্যামিক্যালি আমরা সিম্পলি তাই দেখি !! এটাই কি ?? আমাদের গণিতের চোখ কি বলে? ফাংশনাল এনালাইসিস এ আমরা জানি, ডিস্ট্রিবিউশন প্রোপার্টি !! যে বেশি ঘনত্বের কিছু সবসময় কম ঘণত্বের দিকে যায় ! মানে কিভাবে আসল ফাংশনাল এনালাইসিস ?? Well then we have to see what is the definition of Distribution?

Distribution:

Distributions are a class of Linear Function that map a set of test functions (conventional and well-behaved functions) into the set of real numbers. In the simplest case, the set of test functions considered is D(R), which is the set of functions φ : RR having two properties:

  • φ is smooth (infinitely differentiable);
  • φ has compact support (is identically zero outside some bounded interval).

A distribution T is a linear mapping T : D(R) → R. Instead of writing T(φ), it is conventional to write \langle T,\varphi \rangle for the value of T acting on a test function φ. A simple example of a distribution is the Dirac delta δ, defined by

\left\langle \delta, \varphi \right\rangle = \varphi(0),

meaning that δ evaluates a test function at 0. Its physical interpretation is as the density of a point source.

As described next, there are straightforward mappings from both locally integrable functions and Radon measures to corresponding distributions, but not all distributions can be formed in this manner.

এখানে নীল দাগের লেখাগুলোকে বিশেষ ভাবে গুরুত্ব দেয়ার জন্য অনুরোধ করা হচ্ছে, সাথে লিংক করে দেয়া আছে সেগুলো দেখে নিতে !! আমি যাচ্ছি কেন ডিস্ট্রিবিউশন আনলাম !! “Its physical interpretation is as the density of a point source”, তার মানে কি, যখন টেষ্ট ফাংশনের মান শুন্য, তখন সেখানে ভেকুয়াম, মানে ঘনত্ব সবচেয়ে বেশি, মানে যাষ্ট কালিটা পড়েছে পানিতে, তখনও এর মলিকিউলার রিএকশন শুরু হয়নি, তার মানে তখন কালির মান হবে সবচাইতে বেশি, এরপর যখন রিএকশন শুরু হবে আস্তে আস্তে কালিটা ছড়াতে শুরু করবে ! এবং যখন  ছড়িয়ে পড়ার সময় বাড়তে থাকবে তখন কালিটা সমস্ত জগে ছড়িয়ে পড়বে !! তাহলে টেষ্ট ফাংশনের কমপ্যাক্ট সাপোর্ট এর ব্যাপারটা বুঝা গেল? মানে কালিটি পড়ার সময় জগের যে যায়গায় পড়েছে তাঁর আসেপাশের যায়গাটাকে একটা ওপেন বল কল্পনা করলে এই বলের স্পেশ রেডিয়াস এর বাইরে কালির কন্সেন্ট্রেশন শুন্য !! এবং একেই বলে কম্প্যাক্টনেস !! যাই কিছু হোক, সেই রিজিয়নেই হবে !! এখন সময় বাড়লে স্পেসও বাড়বে !! একে বলে রেন্ডম ওয়াক প্রসিডিউর !! মানে আমি একযায়গায় দাঁড়িয়ে আছি একটা কয়েন টস করলাম, যে হেড হলে সামনে একধাপ যাবো, টেল হলে পিছনে একধাপ যাব !! তাহলে এই ধুই ধাপের এভারেজ নিলে আমি কোন অবস্থানে আছি তা বুঝতে পারবো, যা সিম্পল বায়নোমিলায় ডিস্ট্রিবিউশনের মধ্যে পড়ে !!

তো এত কাহিনী কেন বললাম? আসি সে কথায়, আমরা তাহলে দেখলাম এমনটা একটা ইকুয়েশন নিচ্ছি যা যে কোন সময়ে একটা ভেক্টরিয়াল স্পেইসে কিছু একটা জমা হতে যাচ্ছে, যেটাকে ফ্লাক্স বলি, যা ধরে নেই,  \rho (\bar r, t)এখানে \bar rভেক্টরটা স্পেশ ভেক্টর ও t >0 টা হচ্ছে সময়, প্রশ্ন হচ্ছে কেন সময়টা সরাসরি বড় বলাম শুন্য থেকে !! ওয়েল, খুব সাধারণ ভাবে দেখতেছি কালি পড়ার সাথে সাথেই ডিফিউশন ছড়িয়ে যাচ্ছে, সুতরাং ইনিশিয়ালি মানে সময় যখন শূন্য তখন আমাদের একটা কিছু ডিফাইন করে নিতে হবে, এবং তা হচ্ছে ডিরাক ডেল্টা ফাংশন !! আসব এ বিষয়ে, এখন যাই ফিক’স এর ১ম সমীকরণ এ, পদার্থ বিজ্ঞানে আমরা করেছিঃ ফ্লাক্সের সময়ের আংশিক ডেরিভেটিভ হবে চার্জের গ্রেডিয়েন্টের সমান !! মানেঃ
\frac{\partial\rho}{\partial t}(\bar r, t) = - \nabla. \bar j(\bar r, t ))

এখানে  \bar j (\bar r, t ) টিতে আমরা ডিস্ট্রিবিউশন করব !! ধরি আমি নির্দিষ্ট স্পেস নিলাম  r এর যার প্রত্যেকবার কয়েক টসে হেড ওর টেল উঠার পসিবিলিটি \lambdaতাহলে সাধারণ প্রবাবিলিটি কত? সিম্পলি এর অর্ধেক !! তার মানে কলিটির নির্দিষ্ট অবস্থান \bar j (\bar r, t)\equiv \frac{dP}{dt}(\bar r, t)\\ \frac{dP}{dt}(\bar r, t)\equiv \frac{\lambda}{2} [P(i+1, t)-P(i-1,t)-2P(i,t)] \\ \equiv \frac{\lambda a^2}{2} [P(i+1, t)-P(i-1,t)-2P(i,t)]/a^2 \\ \equiv \nabla P (\bar r,t)\\ \bar j (\bar r, t) \equiv - \nabla P (\bar r,t)

এখানে মাইনাস সাইন বসানোর কারণ হচ্ছে চার্জ এক্সপোনেনশিয়ালি ইনক্রিজ করবে এবং ডিক্রিজ করবে সময়ের সাথে সাথে !! কিন্তু ডানপক্ষ ও বামপক্ষের ভেক্টর সমান না !! তাই আমরা একটা ডিফিউসিভ কনস্টেন্ট D  বসাই, এর মান কত ? এটা একটু ভাবুন !! আমি চাই, কারণ এটা বুঝা গুরুত্বপূর্ণ !! যাই হোক তাহলে ফিক’স এর ১ম সমীকরণ থেকে আমরা কি দেখলাম? ডিফিউশিন ইকুয়েশনঃ\frac{\partial P}{\partial t}(\bar r, t) = D \nabla^2 P(\bar r, t ))

আগেই বলেছিলাম আমারা গণিতবিদ, খুঁতখুঁতে মন, যেকোন একটা সিস্ট্যাম বা মডেল পেলেই ভেবে নিব এই সমস্যা টা কি ওয়েল পোজড? না ইল পোজড ? তা এটা কিভাবে পাবো? খুব সাধারণভাবে আমাদের ধারণায় আনতে হবে, আচ্ছা এর সমাধান করতে হবে, করতে গেলে কি লাগবে? ইনিশিয়াল কন্ডিশন, কিন্তু কতটুকু যায়গা নিয়ে বা ঐ জগটার এরিয়াটা কোথায় গেল? এখন জগ থেকে বেড়িয়ে আসি, পুরা দুনিয়া নিয়ে চিন্তা করি, ধরি পৃথিবী গরম হচ্ছে, বরফ গলতেছে, কতটুকু ছড়াবে পানি !! ধরে নেই বাউন্ডারী কন্ডিশন যেকোন সময়ের জন্যই অসীমে শূন্য !! মানে, উপরের সমস্যাটার জন্য ইনিশিয়াল আর বাউন্ডারি কন্ডিশন গুরুত্বপূর্ণ ওয়েল পজড প্রমান করতে। তো ধরে নেই এই এই ইনিশিয়াল কন্ডিশনঃ I.C : P(\bar r, 0) = \delta^k (r)\\ B.C : P(\bar r,t)\rightarrow 0 \quad as \quad r \rightarrow \infty

সুতরাং সিস্ট্যামটার সমাধান হবে গাউসিয়ান সমাধানঃ

P(r,t)= \frac{1}{\sqrt(4\pi Dt)}e^\frac{-(x-x_0)^2}{4Dt}
যার নিউমারিক্যাল সমাধান হবে নিম্নের ছবির মতঃ এখানে আমি ক্রেংক নিকলসন স্কিম ব্যাবহার করেছি MATLAB এঃ untitled untitled2untitled1 এখনঃ কিছু প্রশ্নঃ ১) এই গাউসিয়ান সমাধান কিভাবে এল? (হিনটসঃ লাপ্লাস ট্রান্সফরম লাগবে টাইম ডেরিভেটিভ এ ও ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম লাগবে স্পেশ ডেরিভেটিভস এ)
২) শূন্যের কাছাকাছি তে কেন এতটা উঁচু কার্ভ এল?
৩) নিউম্যারিক্যাল সমাধানে কখন এটা কন্সিসটেন্স ? এতে ডিফিউশন কনস্ট্যান্ট “D” এর ভূমিকা কি?
৪) ডিরাক ডেল্টার এরিয়া কত?
৫) লোকালি ইন্টিগ্রেবল আর শুধু ইন্টিগ্রেবলের মাঝে পার্থক্য কি? ল্যাবেগ মেজার কেন লাগবে বুঝতে ?

এখন বলি এই ডিফিউশন ইকুয়েশন কেন গুরুত্বপূর্ণঃ
১) যেকোন ইঞ্জিনিয়ারিং এপ্লিকেশনে ওয়াটার ফ্লো/ গ্যাস ফ্লো মুভমেন্ট এর জন্য এটা খুবই জরুরী !!
২) ট্রাফিক কন্ট্রোল এপ্লকিশনে এই এইকুয়েশন লাগবে !
৩) টিউমার ট্রিটম্যান্টে এই ইকুয়েশন লাগবে !! ইত্যাদি !!

এ ছাড়াও এই ইকুয়েশন থেকে বুঝা যাচ্ছে কেন আমাদের ফাংশনাল এনালাইসিস, টপোলজি ইত্যাদি গুরুত্বদিয়ে পড়তে হবে!!

যেকোন প্রশ্ন থাকলে নির্দিধায় করেন !! আমি উত্তর দিতে চেষ্টা করব !!

আতিক।
——————————————————————-
ওয়েবঃ https://sites.google.com/site/smatiqurrahmanchowdhury/

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/leatique/3469/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

1 comments

  1. ছাত্র থাকাকালে এনালাইসিস থেকে যত পারি পালিয়েই ছিলাম। Keep writing . ..

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading