Higgs Mechanism : অনেক অনেক এলোমেলো কথা – ০৫ এ্যাকশন এবং লাগ্রাঞ্জিয়ানের সৌন্দর্য

লাগ্রাঞ্জিয়ান জিনিসটা কেন এত ইম্পর্ট্যান্ট (এবং সুন্দর) তা আজ একটু বলি।

ধরা যাক, আমরা ক্রিকেট খেলছি। আমাদের বর্গমূলের চন্দ্রশেখর বল করছে, আরিফিন ব্যাট করছে। ফাহিম উইকেটকিপিং করছে। আমরা দর্শকের সারিতে বসে দেখছি, বোলার চন্দ্রশেখরের হাত থেকে একটি লাল রঙের বল নির্দিষ্ট স্পীড এবং ডিরেকশন নিয়ে নির্দিষ্ট একটি পথ বেছে নিয়ে পীচের একটা নির্দিষ্ট স্থানে এসে পড়ল। ব্যাটসম্যান আরিফিনের ব্যাটে বল লাগল, উইকেটকিপার ফাহিম ক্যাচ ধরে ফেলল। হঠাৎ .. আম্পায়ার রেজা বলল, ণো বল! আরিফিন নটআউট। এরপরের বলটি যদি চন্দ্রশেখর ঠিক একই জায়গা থেকে একই স্পীড এবং একই ডিরেকশনে ডেলিভারী দেয়, তাহলে বলটা ঠিক আগের পথই ফলো করে একেবারে আগের জায়গাতেই পীচ করবে। এবার আরিফিন আউট হবে না ওভারবাউন্ডারী মারবে, সেটা তার ব্যাপার। কিন্তু  চন্দ্রশেখরের বদলে ম্যারাডোনা এসেও যদি ওই একই কনফিগারেশনে বল করেন, তবুও বলটি যে একই পথ ফলো করবে, তাতে কোন সন্দেহ নেই।

এখন, দর্শকসারিতে যদি আমরা নিচের এ্যানিমেশনটি দেখিয়ে প্রশ্ন করি, চন্দ্রশেখর (অথবা ম্যারাডোনা)’র ছোঁড়া বলটা কেন বার বার এ্যানিমেশনের লাল বলটার মত ট্রাজেক্টরি বেছে নেয়? কেন হলুদ বল গুলোর ট্র্যাজেক্টরি বেছে নেয়না ? দর্শক সারি থেকে সবচে’ স্বাভাবিক যে উত্তরটা আসবে, সেটা হল, বলটি নিউটনের সূত্র মেনে ওই জায়গায় পৌঁছায়। রিয়ালিটি হিসেবে ফিজিক্স ওই পথটাকেই allow করে।

cricket lagrangian 2

এখন, আমি যদি পাল্টা প্রশ্ন করি, ফিজিক্স কেন ওই পথটাকেই কেন বেছে নেয়? ওই পথটাই কেন ফিজিক্সের এত পছন্দ? এই প্রশ্ন দর্শকদের কাছে গিয়ে করলে নির্ঘাত ইটপাটকেল খেতে হবে। কিন্তু আসলে উত্তরটা কী?

এপ্রশ্নের একেবারে সরাসরি উত্তর হয়ত মানবজাতির পক্ষে দেওয়া সম্ভব নয়, তবে আংশিক কিছু যুক্তি উপস্থাপন করা খুবই সম্ভব। এই যুক্তিটাই লুকিয়ে আছে লাগ্রাঞ্জিয়ানের মধ্যে। ব্যাখ্যা করছি।

ক্রিকেট বল তো ৩মাত্রায় চলাফেরা করে। আমরা বরং আরো সিমপ্লিফাইড কিছু নেই। ধরা যাক, ক্রিকেট বলই নিচ্ছি, কিন্তু তার মুভমেন্ট 1Dতেই সীমাবদ্ধ। ধরা যাক একটা ক্রিকেটবল একদম মুক্তভাবে A থেকে B তে যেতে চায়। আমরা ধরছি, ফিজিক্স নিয়ে আমরা কিচ্ছু জানিনা। নিউটনের গতিসূত্র জীবনে চোখেই দেখিনি। এখন? সে কোন পথে  A থেকে B তে যাবে?

cricketball 1D moveযতক্ষন আমরা ফিজিক্স জানিনা, ততক্ষন বলতে পারি, বলটা অনেক ভাবে A থেকে B তে যেতে পারে। সে উপরের এ্যানিমেশনের লাল রঙের বলটার মত সরাসরি গড়িয়ে  A থেকে B তে যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে তার পথচলার সময়-দুরত্ব গ্রাফটি হবে লাল রঙের সরলরেখার মত (এ্যানিমেশনটিতে আমি সময়কে ভার্টিকালি বসিয়েছি)।

আবার, বলটা সবুজ বলগুলির মত এদিক ওদিক ইতস্তত সরে সরেও  A থেকে B তে পৌঁছাতে পারে। প্রতি ক্ষেত্রেই তার এরকম একটি সময়-দূরত্ব গ্রাফ পাওয়া যাবে। এখন কথা হল, এরকম ইনফাইনাইট সংখ্যক পথ আছে যেই পথ অনুসরন করে বলটি  A থেকে B তে যেতে পারে। কিন্তু ক্লাসিকালি ফিজিক্স কোন পথটাকে বেছে নেবে? এই উত্তরটা দেয় লাগ্রাঞ্জিয়ান সিস্টেমের লাগ্রাঞ্জিয়ান। ক্যামন করে দেয়? এ্যাকশনের  মাধ্যমে দেয়। বলছি আরেকটু পরে।

 

আগের দিন লাগ্রাঞ্জিয়ানের একটি শিশুতোষ সংজ্ঞা লিখেছিলাম নিশ্চয়ই মনে আছে? \mathcal{L} = E_k -E_p. এই সংজ্ঞা সবসময় কাজে না লাগলেও আজকের ক্রিকেটবল নড়াচড়ার জন্য কাজে লাগবে। গতিশক্তিকে বড়রা E_k না লিখে T লেখেন, আর পটেনশিয়ালকে লেখেন V. আমিও তাই লিখছি। তাহলে mভরের বলটির জন্য লাগ্রাঞ্জিয়ান হবে,

\mathcal{L} = T - V \\ \implies \mathcal{L} = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 -V(x)

এখন বল নিয়ে একটু বলতে হবে। বল মানে ক্রিকেটবল নয়। এই বল হল ফোর্স। ফোর্সের যেই সংজ্ঞাটা আমরা বর্গমূলের মানুষেরা জানি, সেটা হল F = ma. কিন্তু যে সংজ্ঞাটা সম্ভবত জানিনা, সেটা এরকমঃ ফোর্স হচ্ছে ক্রিকেটবলটা যেখানে মুভ করবে, সেখানকার দরুন পটেনশিয়াল এনার্জির নেগেটিভ গ্র্যাডিয়েন্ট। অর্থাৎ আমাদের ক্রিকেটবলটির 1 Dimensional নড়াচড়ার ক্ষেত্রে বলা যায়, -\frac{\partial}{\partial x}(V) জিনিসটা আসলে ফোর্স। এবার উপরের এ্যানিমেশনের সম্ভাব্য পথ গুলোর দিকে একটু দৃষ্টি দেওয়া যাক। সম্ভাব্য পথ গুলোকে একটা গ্রাফপেপারে একই সেট অফ এক্সিসে আঁকলে নিচের এ্যানিমেশনের কার্ভ গুলোর মত দেখাবে।

lagrangian mechanics paths
lagrangian mechanics paths jpg

 

লাগ্রাঞ্জিয়ান ফর্মুলেশনের গল্প উঠলেই বইপত্রে উপরের কার্ভগুলির মত ছবি দেখা যায়। এই ছবিগুলোর দিকে আমি বহুদিন হাঁ করে তাকিয়ে থেকেছি এবং কিছুই যে বুঝিনি, সেটা চেপে গিয়েছি।  😀

যাহোক এবার  এ্যাকশনকে ডিফাইন করার সময় এসেছে। লাগ্রাঞ্জিয়ানের ক্ষেত্রে এ্যাকশন জিনিসটা ঠিক হলিউডের ঢিশুমঢিশুমের মত না। এ্যাকশন S হল সময়ের স্বাপেক্ষে লাগ্রাঞ্জিয়ানের ইন্টিগ্রেশন। অর্থাৎ,S = \int \mathcal{L} \ \ dt = \int _{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(x,\dot{x}) \ dt

যেহেতু গতিশক্তি \dot{x}-এর ফাংশন এবং বিভব শক্তি x-এর ফাংশন, তাই লাগ্রাঞ্জিয়ান দেখতে \mathcal{L}(x,\dot{x})-এমন হওয়াই স্বাভাবিক। আমরা দেখতে পাচ্ছি, ক্রিকেটবলটি x(t_1)থেকে x(t_2)তে যাবে, এবং তার জন্য অসংখ্য সম্ভাব্য পথ থেকে মহাবিশ্বের ফিজিক্স তাকে একটি পথে যাওয়ার অনুমতি দেবে। জটিলতা বেড়ে যাচ্ছে। জটিলতা আরেকটু বাড়িয়ে দিই। উপরের কার্ভ গুলোকে বরং x(t) না লিখে তাদের সাথে ছোট্ট একটা ডেভিয়েশন a(t) জুড়ে দেই। অর্থাৎ কার্ভগুলোকে ভাবি, x(t) + a(t)। ফর্মালি লিখতে গেলে,x(t)-এর উপর আমরা যে ভ্যারিয়েশনটা নিচ্ছি সেটা এরকম –

x(t) \longrightarrow x'(t) = x(t) + a(t)

মনে রাখা দরকার, এই a(t)জিনিসটা কিন্তু খুবই পিচ্চি। এটা কেন নিলাম? লক্ষ্য করুন, x-পথ গুলো অবশ্যই t-এর ফাংশন, এবং আমরা যদি যেকোন একটা পথ x(t)+a(t)বেছে নেই, এবং বাউন্ডারি কন্ডিশন হিসেবে a(t_1) = 0 = a(t_2)সেট করি, তাহলে সব গুলো পথকেই বিবেচনা করা যায়। কারন a হল x এর ডেভিয়েশন। অর্থাৎ বিভিন্ন t-তে x নিজের থেকে যতটুকু সরে গেল, সেটাই ওই পয়ন্টেa. স্বাভাবিকভাবেই সব সম্ভাব্য পথ বিবেচনা করার জন্য এটুকু ভাবাই যথেষ্ট যে, বিভিন্ন পয়েন্টে x-এর ডেভিয়েশন যা খুশি হোক না কেন, t_1আর t_2পয়েন্টে x-এর ডেভিয়েশন শুন্য। ওই দুই কোনায় a = 0. এবার নিশ্চয়ই পিচ্চি a-এর সুবিধাটা বোঝা গেল? না বুঝলে আরেকবার এই প্যারাগ্রাফটা পড়ে ফেলুন। 🙂
সামনে এগোই। x-কে নতুন করে লেখার কারনে পুরানো এ্যাকশনটাও নির্ঘাত বদলে যাবে। পুরানো এ্যাকশনে xএর জায়গায় x+aলিখে কী পাওয়া যায় দেখা যাকঃ

S' = \int _{t_1} ^{t_2} \left ( \frac{1}{2} m (\dot{x} +\dot{a})^2 - V(x+a) \right ) \ dt \\ \implies S' = \int _{t_1} ^{t_2} \left ( \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 +\dot{a}^2 +2\dot{x}\dot{a}) - V(x+a) \right ) \ dt

এখন V(x+a)-কে টেলর সিরিজে এক্সপান্ড করে দেই। তাহলে যেহেতু aখুবই পিচ্চি, তাই aএর স্কয়্যার এবং তারচে’ বেশি পাওয়ার-ওয়ালা টার্মগুলোর কন্ট্রিবিউশন এতটাই ছোট হবে যে ওগুলো খুশিমনে বাদ দিয়ে দিতে পারব।

S' = \int _{t_1} ^{t_2} \left ( \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 +\dot{a}^2 +2\dot{x}\dot{a}) - V(x) - aV'(x)- \frac{a^2}{2!} V''(x)- \frac{a^3}{3!} V'''(x)- \ldots \right ) \ dt \\ \therefore \ S' \approx \int _{t_1} ^{t_2} \left ( \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 +2\dot{x}\dot{a}) - V(x) - aV'(x) \right ) \ dt \\ \Rightarrow S' = \int _{t_1} ^{t_2} \left ( \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x) + m\dot{x}\dot{a} - aV'(x) \right ) \ dt \\ \\ \Rightarrow S' = \quad S \quad + \quad \int _{t_1} ^{t_2} \left[ m\dot{x}\dot{a} - aV'(x) \right] dt

এখানে V' = \frac{\partial V}{\partial x}. তবে S'কিন্তু কোন ডেরিভেটিভ না। ওটা জাস্ট নতুন এ্যাকশন বোঝাতে লিখেছি।

 

এইবার হল আসল মজা। আমরা দেখতে পাচ্ছি, নতুন এ্যাকশনS'হচ্ছে পুরাতন এ্যাকশন Sএবং আরো কিছু হাবিজাবি জিনিসের যোগফল। এখান থেকে এখনো  বলতে পারছিনা যে আমাদের ক্রিকেটবলের জন্য কোন পথটাকে ফিজিক্স অনুমদন দেবে। কিন্তু এতটুকু নিশ্চিত, যে সেই পথটা নিউটনের গতিসূত্রকে স্যাটিসফাই করবে। এ্যাকশন নিয়ে আমাদের মাথাব্যথা নেই। আমাদের মাথাব্যথা S-এর সাথে যুক্ত ওই হাবিজাবি  টার্মটা নিয়ে। তার মধ্যেই হয়ত ফিজিক্স লুকিয়ে আছে। আমরা ওই টার্মটার মান যা খুশি ধরতে পারি, তবে তাতে ফিজিক্স ডিফাইনড হবার সম্ভবনা তেমন নেই। কিন্তু টার্মটাকে যদি ভ্যানিশ করে ফেলা যায়? অর্থাৎ তার ভ্যালু যদি শুন্য ধরে নেই, তাহলে কী হবে?

হাবিজাবি জিনিসটা যদি শূন্য হয়, তাহলে S = S'হবে। মানে, পুরাতন এ্যাকশনের কোন চেইঞ্জ হবেনা। ভদ্র ভাষায় বলতে গেলে, এ্যাকশন স্টেশনারী থাকবে। কিন্তু তাতে কি ফিজিক্স হবে আদৌ? পরীক্ষা করে দেখা যাক!

 

হাবিজাবি = 0ইমপ্লাইস ,
\int_{t_1}^{t_2} \left( m \dot{x} \dot{a} -aV'(x)\right ) dt =0 \\ \Rightarrow m\dot{x} \int_{t_1}^{t_2} \dot{a} \ dt - \int_{t_1}^{t_2} \left( m \t{x} \int_{t_1}^{t_2} \dot{a} \ \ dt \right )dt \ - \int_{t_1}^{t_2} aV'(x) dt = 0 \\ \Rightarrow m\dot{x} \left(a\vert _{t_1}^{t_2}\right) - \int_{t_1}^{t_2} m \t x \left(a\vert _{t_1}^{t_2}\right) dt - \int_{t_1}^{t_2} aV'(x) dt = 0

এখন, প্রথম টার্মে t-এর ওপর কোন ইন্টিগ্রেশন নাই। তাই বাউন্ডারি কন্ডিশন থেকে a| _{t_1} ^{t_2} = a(t_1)-a(t_2)= 0
লেখা যায়। তাহলে বাকি যা থাকছে তা হল,
- \int_{t_1}^{t_2} m \t x \left(a\vert _{t_1}^{t_2}\right) dt - \int_{t_1}^{t_2} aV'(x) dt =0
\Rightarrow m \t x \quad \ = - V'(x)
\Rightarrow \quad - \frac{\partial}{\partial x} V(x) \quad = \quad m \t x

\Rightarrow \quad Force \quad = \quad mass \times acceleration

 

আমরা নিউটনের গতিসূত্রে পৌঁছে গেছি! ওই হাবিজাবি টার্মটির মধ্যেই তাহলে ফিজিক্স লুকিয়ে ছিল। সুতরাং যেই পথের জন্য এ্যাকশন স্টেশনারী হবে, আমাদের ক্রিকেটবলটি স্যার আইজ্যাক নিউটনকে খুশি করার জন্য সেই পথটাই বেছে নেবে। এই হচ্ছে গিয়ে যুগান্তকারী আবিষ্কার – দ্য প্রিন্সিপল অফ স্টেশনারী এ্যাকশন, বা রোয়ান হ্যামিল্টনের নামানুসারে “হ্যামিল্টন’স প্রিন্সিপল”।

এ্যাকশন স্টেশনারী থেকে ফিজিক্স ডিফাইনড হবার এই নীতি যে শুধু পার্টিকেল ডিনামিক্সের ক্ষেত্রেই কাজ করে, তা কিন্তু নয়। ক্লাসিকাল ফিল্ড ডিনামিক্সের ক্ষেত্রেও কাজ করে। তবে আরো আরো অনেক ছোট জিনিসপত্রের জগতে, অর্থাৎ যেখানকার বলবিদ্যা বোঝার জন্য কোয়ান্টাম মেকানিক্স প্রয়োগ করতে হয়, সেই জগতে এই “পথ বেছে নেওয়া” ব্যাপারটা একটু আলাদা। ইন ফ্যাক্ট, আমরা বলতেই পারিনা যে একটা কোয়ান্টাম মেকানিকাল অব্জেক্ট A থেকে B তে যাবার জন্য কোন পথ ফলো করবে। এ থেকে পরিত্রানের জন্য তাই ফাইনম্যানের কথা মত সব সম্ভাব্য পথের উপর বাজখাঁই একটা ইন্টিগ্রেশন বসিয়ে পাথ-ইন্টিগ্রাল ফর্মুলেশন অফ কোয়ান্টাম মেকানিক্স বিবেচনা করা হয়। সেখানেও দেখা যায় এই এ্যাকশন একটি বিরাট কাজ করছে। এভাবে ভাসা ভাসা করে বলে আসলে লাভ নেই। অন্যদিন গল্প করব সেসব নিয়ে। এখন বরং একটা বাড়ির কাজ দিই।

গত দিন অয়লার-লাগ্রাঞ্জে ইকুয়েশনের কথা বলেছিলাম। ওটা লিখে দেখাইনি। অয়লার-লাগ্রাঞ্জে ইকুয়েশনটা ইন্টারনেট ঘেঁটে  খুঁজে বার করুন। তারপর ওটার দিকে চোখ কুঁচকে তাকান। তারপর আমাদের ক্রিকেটবলের নড়াচড়ার সাথে ওটাকে কানেক্ট করুন। এখন দেখুনতো, সেখান থেকে যেই ক্যালকুলেশন বেরোয়, তাতে স্যার আইজ্যাক নিউটন খুশি থাকেন কি না?

 

বহু মাতবুরি করলাম। নিজে থেকে কিছুই করিনি আসলে। নোটেশন, ক্যালকুলেশন সবই লিউইস রাইডার-এর লেখা আমাদের প্রিয় বই “Quantum Field Theory” থেকে নিয়েছি। রাইডার আসলে নিজেও মাতবুরি করেননি। আসল মাতবুরিটা করেছেন অয়লার-লাগ্রাঞ্জে-হ্যামিল্টনেরা।

ক্রিকেটবল, পার্টিকেল – এসবের এত এত পথের গল্প শেষ করতে গিয়ে রবীন্দ্রনাথের একটা গানের কথা মনে পড়ে গেল।
“কেন পান্থ এ চঞ্চলতা?
কোন শূন্য হতে এল কার বারতা,
কেন পান্থ এ চঞ্চলতা ”

মানবজাতির পক্ষে সবটুকু উত্তর দেওয়া সম্ভব নয় বলেছিলাম না? যেই পথে এ্যাকশন স্টেশনারী থাকে, সেপথ ঘীরেই কেন বাস্তবতা তৈরি হয় – এই প্রশ্নের উত্তর কী জানা আছে মানবকুলের? মনে হয় নেই। কে জানে, সাবএ্যাটমিক পার্টিকেল গুলো হয়ত কোন অসীমশূন্য হতে আসা বিশেষ কারো বারতার অপেক্ষায়ই চঞ্চল।

 

ভাল থাকবেন।
🙂

Galib Hassan
Author: Galib Hassan

Mischief Managed.. 😉

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/kada-mati/1444/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

5 comments

Skip to comment form

  1. দারুণ লেখা। লেখার শেষে ইকুয়েশনের বাহার দেখে বেশ কয়েকবার পুরো না পড়ে ফেরত গিয়েছি। শেষমেষ ধৈর্য ধরে পড়ে বুঝলাম “শুধুই শুধুই ভয় পেয়েছি”। সুন্দর উপস্থাপনা। সিরিজটা ভালো লাগছে।

    টপিকটা আমার মত ম্যাথ না বুঝা, পড়ালেখায় ফাঁকি দেওয়া মানুষ যেহেতু বুঝছে, সেহেতু অনাগত সকল পাঠকের জন্য একটাই কথা, “একটু ধৈর্য ধরে পড়ে যান, সময় বৃথা যাবে না! “

    1. ami dhorjo dhore pori nai….:P

      etar karon ami ekta jinis jantam onek agei….
      A’ Level jara korse, tader -d/dx (V(x)) na pore shanti nai….:)

      jokhon Force, Electric Potential, Field, Electricity and Magnetism bojhate jogakhichurir moton kichu theory goru rochonar moton na bujhe memorize korte hoy (maximum student e kore), tokhon ar kicchu bojhar thake na…..

      agei bole dei, ei paper e amar number kom chilo, tar upore typhoid niye exam diyechilam, and I got C. This defines the quality of student that I am. Ekhon chinta kori, ki lav hoilo, tokhon jodi bujhte na jeye memorize kortam result ta valo hoito. Life is a race, vaago….:D

      amar kache notun jinis ta hocche Lagrangian term ta use korata….baki sob amar purbo porichito

      ar ekta jinis, Negative gradient of instantaneous potential energy, othoba, negative gradient of Potential Energy at each point for the ball during the movement, potential energy transfer hoye ei khetre Kinetic hobe sobai jaane, Potential Energy decrease hoy (-ve sign), kintu K.E te always positive (+ve), tai ki??…;)

      ar ektu jotil chinta kori….

      KE is again converted into PE, kemne hoy? ball kono somoy jeye theme jaabe, (mone kori wicket keeper nai, and Friction toh always ache) tokhon KE is converted to PE. Ball er moddhe energy nai, energy comes from the hand of the bowler when he throws it. Due to Friction some energy is lost as heat energy (negligible)….:D

      Bohut gyan bitoron hoilo, ehon jai ga…

      1. @Awnon – আমি দুঃখিত অনোন, আমি নিচের সেনটেন্সটির অর্থ ঠিক মত বোঝাতে পারিনি –
        “ধরা যাক একটা ক্রিকেটবল একদম মুক্তভাবে A থেকে B তে যেতে চায়।”

        এই “একদম মুক্ত ভাবে” বলতে আমি ফ্রী-লি মুভিং পার্টিকেল বুঝিয়েছি এবং তার করেস্পন্ডিং লাগ্রাঞ্জিয়ানের কথা চিন্তা করেছি। ফ্রী মানে ফ্রীঈঈঈঈঈঈঈ ! কারো সাথে কোন ইন্টার‍্যাকশন নাই। গ্র্যাভিটেশনাল ফীল্ডের সাথে না, ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক ফীল্ডের সাথে না, কারো সাথে না। তাই ফ্রিকশনের ব্যাপারটাও কন্সিডার করা হয়নি। রিয়াল ওয়ার্ল্ডে অবশ্যই ফ্রিকশন থাকবে, থার্মডিনামিক এ্যাস্পেক্টস থাকবে, হেন তেন অনেক কিছুই থাকবে। কিন্তু এটা আমার আইগেনভ্যালু পোস্টের রুটি বানানোর প্রসেসের মতই একটা অতিমাত্রায় আইডিয়ালাইজেশন। একথা গুলো পোস্টেই লেখা দরকার ছিল। আবারো ক্ষমা চেয়ে নিচ্ছি।

        আর, কাইনেটিক টার্মের সাইনের চেইঞ্জ এই প্রবলেমে শুধু acceleration-এর ডিরেকশন এদিকওদিক করবে। ওটা নিয়ে আমার আদৌ কোন মাথাব্যথা নেই। তুমি যেমন খুশি সাইন ব্যালান্স করে নিতে পার। আমি প্রশান্ত চিত্তে মেনে নেব। 😉

        বাই দ্য ওয়ে, তোমার নামের বানান ঠিক লিখেছি কি? 😀

        1. yes, very few get my name spelled right….;)

    2. @ রেজা – আবারো ধন্যবাদ রেজা। খটোমটো বিষয়ের লেখা গুলো আমি ব্যাখ্যা করতে পারছি – এটা আমার জন্য বিরাট শান্তি। আমি আসলে জিনিসগুলো শিখছি। এবং যা শিখি, সেটা শেয়ার না করা পর্যন্ত স্বস্তি পাইনা। 🙂

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading