রুটি বানান, আইগেনভ্যালু শিখুন

আমরা প্রতি নিয়ত ময়দা দিয়ে xy-plane বানাই। এবং তারপর ওগুলোকে আদর করে রুটি, লুচি, পরোটা -ইত্যাদি নামে ডেকে মনের আনন্দে গিলে ফেলি (z-axis এর কথা কিছুক্ষণের জন্য ভুলে যান, রুটির পুরুত্ব নেগলেক্ট করুন)। আইগেনভ্যালু-আইগেনভেক্টর বোঝার জন্য সবচে’ সহজ উপায় হল ভাজার আগ পর্যন্ত এই রুটি বানানোর প্রসেসটা মনোযোগ দিয়ে দেখা। বলে রাখি, এই পোস্টটা আমার মত মানুষদের জন্য, যারা দীর্ঘ সময় ধরে আইগেনভ্যালু-আইগেনভেক্টর শব্দগুলো নিয়ে চাপা অস্বস্তিতে ছিল, জীবনের বিভিন্ন সময়ে বিভিন্ন আঙ্গিকে শব্দগুলো আবিষ্কার করেছে, কিন্তু বারবার সব গুলিয়ে গ্যাছে। আমাদের বন্ধু শুভ দেশে থাকার সময় একদিন সন্ধ্যাবেলা বলছিল, ও আইগেনভ্যালু-আইগেনভেক্টর নিয়ে কিছু ভারি ভারি কথা বর্গমূলে পোস্ট করবে। কিন্তু আমি নিশ্চিত, শুভ এখন বিদেশ-বিভুঁইয়ে প্রচন্ড ব্যস্ত সময় পার করছে। তার লেখা পেতে আমাদের খানিক অপেক্ষা করতে হবে। ততক্ষণে আমি জাস্ট একটু হালকার উপর ঝাপসা  আঁচড় কেটে ভেগে যাই। তার আগে খুব বিচ্ছিরি ভাবে একটা ইনফর্মেশন দিয়ে লেখা শুরু করছি – আইগেনভ্যালু জিনিসটা কিন্তু খুব ইম্পর্টেন্ট। কোয়ান্টাম মেকানিক্স অনুযায়ী অনেক অবাস্তব সম্ভবনার মধ্যে আইগেনভ্যালু-ই বাস্তবতা।  😉

 

আমি ধরে নিচ্ছি, সবাই আইগেনভ্যালুর সংজ্ঞাটা প্রথম বর্ষের মাঝামাঝি সময় থেকেই জানেন। তবু তিনটে বাক্য একটু মনে করিয়ে দেই। দাঁতে দাঁত চেপে বোঝার চেষ্টা করার কোনই কারন নেই। জাস্ট চোখ বুলিয়ে নিন। না বোলালেও রাগ করব না।

আমরা ছোটবেলা থেকে চোখ বুজে যা গলাধকরন করেছি, তার সারমর্ম হল এই –

\textbf{Ax} = \lambda\textbf{x}  -এই ইকুয়েশনটিতে \inline \mathbf{x}যদি একটি নন-জিরো ভেক্টর হয়, আর \inline \textbf{A} যদি একটি স্কয়্যার ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে স্কেলার\inline \lambdaহবে \inline \textbf{A} ম্যাট্রিক্সটির আইগেনভ্যালু এবং \inline \textbf{x} ভেক্টরটিকে বলব আইগেনভেক্টর। কোন স্কয়্যার ম্যাট্রিক্স \inline A-কে যদি ডায়াগনালাইজ করা যায়, অর্থাৎ যদি এমন কোন ম্যাট্রিক্স \inline Pপাওয়া যায়, যাতে \inline P^{-1}A P = Dএকটি ডায়াগনাল ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে \inline D-এর ডায়াগনাল বরাবর এন্ট্রি গুলোই \inline A-এর আইগেনভ্যালু। এই ক্ষেত্রে\inline det\left ( A-\lambda I \right )= 0ইকুয়েশনকে বলা হয় ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশন, যার রুট গুলোই হচ্ছে আইগেনভ্যালু।

 

কাজের কথায় আসা যাক। অর্থাৎ, রুটি বানানো শুরু করা যাক। রুটি বানানোর প্রসেসটা বরং একটু দেখি আমরা নিচের এ্যানিমেশনে।

বেলন দিয়ে ডলার কারনে রুটির পরিবর্তন খেয়াল করুন। সব দিকে সমান ভাবে বড় হচ্ছে (ধরে নিচ্ছি বাবুর্চি সেইরকম এক্সপার্ট) ।
এখন ডলা না খাওয়া অবস্থায় রুটির সাথে একটা xy-plane এ্যাসোসিয়েট করুন এবং তার উপর কয়েকটা পয়েন্ট চিন্তা করুন। ডলা খেয়ে রুটিটা এমন ভাবে ট্র্যান্সফর্মড হবে, যাতে মনে হবে রুটির উপরে আমরা ম্যাগনিফাইয়িং গ্লাস দিয়ে দেখছি।

এখন আমি যদি ডিফাইন করি যে, ট্র্যান্সফর্মেশনটা হল বেলন দিয়ে ময়দাটা ডলা, এবং ট্র্যান্সফর্মেশনটা যদি ময়দার তলের উপর ইউনিফর্ম ভাবে এ্যাপ্লাই করি, তাহলে কী হবে?

rutiEnlarge

 

একটু ম্যাথম্যাটিকালি বলি। ধরা যাক আমরা xy-রুটি কে ট্র্যান্সফর্ম করে অন্য একটা uv-রুটি বানাব। xy-রুটির সাথে যে কোঅর্ডিনেট সিস্টেম আছে, তাকে ধরে নিলাম \bigl(\begin{smallmatrix} x\\ y \end{smallmatrix}\bigr), আর ডলা খাওয়ার পর uv-রুটির কোঅর্ডিনেট সিস্টেম কে ধরে নিলাম\bigl(\begin{smallmatrix} u\\v \end{smallmatrix}\bigr)। তাহলে ট্র্যান্সফর্মেশনটার চেহারা হবেঃ

\bigl(\begin{smallmatrix} u \\ v \end{smallmatrix}\bigr) = T \bigl(\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\bigr)

এখানে, \inline T হচ্ছে গিয়ে  ট্র্যান্সফর্মেশন ম্যাট্রিক্স যেটা xy-রুটিকে বদলে দেবে। আমি ডিফাইন করছি যে, ট্র্যান্সফর্মেশনটা হল বেলন দিয়ে ময়দাটা ডলা। তাহলে \inline T-এর সাইজ কেমন হবে? অবশ্যই 2×2. কারন \inline \bigl(\begin{smallmatrix} x\\y \end{smallmatrix}\bigr)হল 2×1. তাকে বদলে আরেকটা 2×1 ম্যাট্রিক্স \inline \bigl(\begin{smallmatrix} u\\v \end{smallmatrix}\bigr)বানাতে হলে অবশ্যই 2×2 সাইজের কোন ম্যাট্রিক্স দিয়ে বাম দিক থেকে গুন করতে হবে। এখন, একটু মারেফাতি জ্ঞান কাজে লাগাই। দ্বিতীয় এ্যানিমেশনে আমরা দেখেছি (1,1) পয়েন্টটা বদলে চলে গিয়েছিল (7,7) -এ। এখন ধরাযাক বসে থেকে ভাবছি, \inline Tম্যাট্রিক্সের এন্ট্রিগুলো কিরকম হতে পারে যার কারনে (1,1) বিন্দু (7,7) বিন্দুতে শিফটেড হল। অনেকগুলো পসিবলিটিই হয়ত মাথায় এল। হয়ত \inline T এর চেহারা হিসেবে\inline \bigl(\begin{smallmatrix} 7 & 0\\ 0 & 7 \end{smallmatrix}\bigr)-ম্যাট্রিক্সটিও মাথায় এল। এখন দেখি, \inline T-এর চেহারা এরকম হলে কি হয়।

\inline \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 7 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ \implies \\ u &=& 7x\\ v &=& 7y

দ্যাখা যাচ্ছে, \bigl(\begin{smallmatrix} x\\ y \end{smallmatrix}\bigr)এর ভ্যালু যা-ই হোকনা কেন, \inline T-এর এই চেহারা uv-রুটির উপর যেকোন বিন্দু\bigl(\begin{smallmatrix} x\\ y \end{smallmatrix}\bigr)কে \inline \bigl(\begin{smallmatrix} 7x\\7y \end{smallmatrix}\bigr)-তে ম্যাপ করবে।

এইবার আইগেনভ্যালুর প্রসঙ্গে আসা যাক। নিচের ইকুয়েশন গুলো দেখুন, আমাদের দেওয়া আইগেনভ্যালুর ডেফিনিশনের সাথে পুরোই ম্যাচ করে যাচ্ছে!

\inline \bigl(\begin{smallmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{smallmatrix}\bigr) \bigl(\begin{smallmatrix} x\\y \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 7x\\7y \end{smallmatrix}\bigr) \\ \Rightarrow \bigl(\begin{smallmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{smallmatrix}\bigr) \bigl(\begin{smallmatrix} x\\y \end{smallmatrix}\bigr) = 7 \bigl(\begin{smallmatrix} x\\y \end{smallmatrix}\bigr) \\ \Rightarrow \mathbf{ \ T \ \ \ \ \ x} = \ \ \lambda \ \ \mathbf{x}এখানে, \bigl(\begin{smallmatrix} x\\ y \end{smallmatrix}\bigr) আইগেনভেক্টরের জন্য\inline Tম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু \inline \lambda = 7. \inline Tম্যাট্রিক্সটি যেই যেই ভেক্টরের উপর চড়াও হয়ে এরকম \inline \lambda \mathbf{x}প্রজাতির ফর্ম দিতে পারবে, অর্থাৎ, \inline T যেই যেই \inline \mathbf{x}এর উপর এ্যাক্ট করার কারনে আউটপুট হিসেবে আমরা \inline \mathbf{x}-এর একটা স্কেলার মাল্টিপল পাব, সেই সেই \inline \mathbf{x}-কে আমরা বলব আইগেনভেক্টর।

এখন যদি প্রশ্ন করি, আমরা এই যে রুটি ডলে বড় করলাম, এই ক্ষেত্রে রুটির উপরের কোন কোন পয়েন্টকে\inline Tএর জন্য আইগেন ভেক্টর বলা যায়? উত্তর হল, \inline \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)বাদে সব পয়েন্টকেই। \inline \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)-এর ব্যাপারটা ট্রিভিয়াল। আর আইগেনভেক্টরের সংজ্ঞায় বলা আছে, তাকে নন-জিরো হতে হবে। অর্থাৎ তার নর্ম শূন্য হতে হবে।

 

রুটিটা ইউনিফর্মলি না ডলে যদি অন্য কোন ভাবে রুটির চেহারা বদলানো হয়, তাহলে একই ভাবে এই বদলানো বা ট্রান্সফর্মেশনের জন্য \inline T-এর মত আরেকটা ট্রান্সফর্মেশন ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে। কিন্তু সে ক্ষেত্রেও কি রুটির উপরের সব পয়েন্টই আইগেনভেক্টর হবে? না-ও  হতে পারে। মনে রাখতে হবে, \inline \mathbf{x}আর \inline \lambda \mathbf{x}এর পার্থক্যটা হল স্কেলিং-এ। \inline \lambdaআসলে কী করে? \inline \lambdaএকই ডিরেকশনে \inline \mathbf{x}-কে ছোট বা বড় করবে।  ডিরেকশন বদলে গেলেই \inline \mathbf{x}আর আইগেনভেক্টর থাকবেনা। যেমন ট্র্যান্সফর্মেশনটা যদি xy-plane-এ \inline \theta-কোণে একটা রোটেশন হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সটা হবে

 

\inline T = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}
chorkiImpasto

তখন এমন কোন নন-জিরো ভেক্টর কি পাওয়া যাবে xy-plane-এ যার ডিরেকশন বদলায়নি? যাবেনা। তাই এই  \inline T-এর জন্য রুটির ওপরের কোন বিন্দুই আইগেনভেক্টর হবেনা। কারন অরিজিন (0,0) ছাড়া সবাই ডিরেকশন চেইঞ্জ করবে। আর অরিজিনের তো ডিরেকশনের বালাই নেই। এই কারনেই 2D রোটেশন ম্যাট্রিক্স গুলোকে ডায়াগনালাইজ করা যায়না। কারন ডায়াগনালাইজ করা গেলে আইগেনভেক্টর পাওয়া যেত।

এবার বলুন দেখি, এমন কোন ট্র্যান্সফর্মেশন যদি পাওয়া যার অপারেশনের পর কিছু আইগেনভেক্টরের কোন চেইঞ্জ হয়না, তাহলে ট্র্যান্সফর্মেশন ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু ওইসব ক্ষেত্রে কত হবে? উত্তরটা খুবই সহজ, কিন্তু এই ধারনাটা খুব ইম্পর্টেন্ট। বাড়িরকাজ দিয়ে দিলাম। উমম, আচ্ছা এত ছোট বাড়িরকাজ দিয়ে লাভ নেই। আরেকটা প্রশ্ন জুড়ে দেই। ট্র্যান্সফর্মেশন ম্যাট্রিক্সের ডায়াগনাল বরাবর 7 আর 7 না থেকে যদি থাকে 7 আর 14 থাকে, তাহলে কোঅর্ডিনেট এর চেইঞ্জটা কেমন হবে? বের করে ফেলুন।

 

থামার সময় এসেছে। একটা কথা বলে থেমে যাই।  যেকোন ট্র্যান্সফর্মেশনের জন্য একটা অপারেটর থাকে। সেই অপারেটরটাকে আমরা ম্যাট্রিক্স হিসেবে দেখতে ভালবাসি। তাই সেভাবে দেখি। আমরা বলি, অমুক ট্রান্সফর্মেশন হয় তমুক ম্যাট্রিক্সএর এ্যাক্টিং-এর কারনে। সে যত ডিমেনশনেই হোক না কেন, একটা ম্যাট্রিক্স থাকবেই।

মানুষের প্রাণের, মনের, জীবনের ট্র্যান্সফর্মেশন গুলোও কি অন্যরকম কোন অচেনা ম্যাট্রিক্সের এ্যাকশনের কারন?

হতেই পারে।
বিধাতা তো গণিত ভালবাসেন।

 

ভাল থাকবেন।
🙂

 

Galib Hassan
Author: Galib Hassan

Mischief Managed.. 😉

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/kada-mati/1305/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

7 comments

Skip to comment form

  1. মানুষের প্রাণের, মনের, জীবনের ট্রান্সফরমেশন গুলো হয় ভিন্ন ভিন্ন ম্যাট্রিক্সের কারণে। কারও ক্ষেত্রে সেটা ধর্ম, কারও ক্ষেত্রে জীবনে ঘটে যাওয়া কোন স্মরণীয় ঘটনা, কারও ক্ষেত্রে শুধুই নারী ! 😉

    রুটি বেলার মাধ্যমে আইগেনভেক্টরের প্রভাব বুঝানোর কনসেপ্টটা অসাধারণ লাগল।

    প্রথম প্রশ্নের উত্তর কি ১ হবে? (আইগেনভ্যালু তাহলে চেঞ্জ হবে না)

    দ্বিতীয় প্রশ্নের উত্তরটা চোখে ভাসছে কিন্তু কথায় কিভাবে বলব বুঝতেছিনা। এক্ষেত্রে কোর্ডিনেটের চেঞ্জটা বোধহয় খাড়াভাবে হবে। রুটিকে পুরোপুরি না বেলে অর্ধেক বেলে গরম করতে গেলে (তেলে লুচি ভাজার পর যেভাবে ফুলে ওঠে আর কি। তবে লুচির ক্ষেত্রে আটার দলার পুরুত্ব অনেক কম ! :P) যে অবস্থা হয় অনেকটা সে অবস্থা আর কি !
    বা ব্যাপারটাকে হয়তো এভাবে দেখা যায় যে, আটার দলাটা হাতে আমি আরো দলা পাকাচ্ছি !!

    কে জানে, উত্তর সঠিক হল কিনা !! 🙁

  2. ধন্যবাদ রেজা
    প্রথম উত্তরটা তো অবশ্যই ঠিক!
    দ্বিতীয়টা নিয়ে তোমাকে খানিক হিন্টস দেই। ট্র্যান্সফরমেশন ম্যাট্রিক্সটাকে
    a…0
    0…b
    এরকম একটা ম্যাট্রিক্স ধরে নাও। তারপর u আর v এর ভ্যালু বের কর। উত্তর বেরিয়ে পড়বে। 🙂
    (a আর 0 এর মাঝে ডট গুলো কিছু না। এখানে ম্যাথ টাইপ করা যাচ্ছেনা তাই ওভাবে লিখলাম)।

    লুচি ফুলে ওঠার ব্যাপারটা একটু আলাদা। ওটা z-axis এর উপর নির্ভরশীল। তখন তোমাকে তিনটা অক্ষই কন্সিডার করতে হবে। তাই ম্যাট্রিক্স টা হবে 3×3 সাইজের। 🙂

  3. “এমন কোন ট্র্যান্সফর্মেশন যদি পাওয়া যার অপারেশনের পর কিছু আইগেনভেক্টরের কোন চেইঞ্জ হয়না, তাহলে ট্র্যান্সফর্মেশন ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু ওইসব ক্ষেত্রে কত হবে?”

    চেঞ্জ হবে না কে বলল? যদি থ্রিডি ম্যাক্স নিয়ে চিন্তা করি, shift চেপে move করলেই second shape পাই, মানে original object এর copy পাই। তাহলে যদি shift চেপে scaling করি, তাহলে দ্বিতীয় একটা কপি পাব যেটা অরিজিনাল এর ‘scaled’ কপি। ম্যাথমেটিকালি বলি, ওই আইগেনভেক্টরটা ১ হবে, যতদূর মনে হয়।

    “রুটিটা ইউনিফর্মলি না ডলে যদি অন্য কোন ভাবে রুটির চেহারা বদলানো হয়, তাহলে একই ভাবে এই বদলানো বা ট্রান্সফর্মেশনের জন্য T-এর মত আরেকটা ট্রান্সফর্মেশন ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে। কিন্তু সে ক্ষেত্রেও কি রুটির উপরের সব পয়েন্টই আইগেনভেক্টর হবে? না-ও হতে পারে।”

    মনে করলাম, রুটিটা বৃত্তাকার। নন ইউনিফর্ম ত্রান্সফরমেশন করলে, অনেক রকম অবস্থা হতে পারে। এটার ডায়ামিটার টানি। ত্রান্সফরম করার পরে যদি দেখি, একদিকে উচু হয়েছে, বাকি সব ফ্ল্যাট, তাহলে আমাদের z-axis এর ত্রান্সফরমেশন uniformly মিলবে না (scalar multiplication geometry বেসিকই তো এটা, গ্রাফ নিয়ে ধাক্কাধাক্কি করলেই বের হয়ে যাবে।)।

    শেষের প্রশ্নের বেলায় বলি, আমার যতদূর মনে হয়, (৭,৭) যদি (৭,১৪) তে চলে যায়, চেঞ্জটা হবে elliptical.

  4. আইগেন ভ্যালু শেখার চমৎকার টিউটোরিয়াল । আমার কনসেপ্ট এখন ক্লিয়ার।
    হ্যাটস অফ গালিব ভাই

  5. থ্যাঙ্কস ফাহিম। এখন থেকে আইগেনভ্যালু জনিত প্রবলেম গুলোতে তুমি ভেক্টরস্পেস গুলোকে n-dimensional রুটি হিসাবে চিন্তা করতে পার। সব খানে কাজে লাগবে কিনা জানিনা। যেমন আমি এখনো জানিনা যে কিছুদিন পর Sturm-Liouville problems-এ যখন কন্টিন্যুয়াস আইগেনভ্যালু সামনে আসবে, তখন এই কন্সেপ্ট কিভাবে কাজে লাগাতে পারবে। তবে, সব ক্ষেত্রেই স্ট্রং এ্যানালগ থাকার কথা। ভবিষ্যতের জন্য বলে রাখি, always keep the inner product in mind.

    : -)

  6. আমি স্পিচলেস, সাবাস গালিব, প্রাউড টু বি ইউর বন্ধু, ধন্যবাদ দেওয়ারও উপায় পাচ্ছিনা !!!

    1. @ Atiq – haha. thanks, and we are proud to be your bondhu too! 🙂

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading