ম্যাথমেটিক্যাল মডেলিং ইন বায়োলজিঃ কিছু সাধারণ কথাঃ পর্ব ১

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত বিভাগের শিক্ষকদের মধ্যে যাদের আমি সুনাম করি তাদের একজন হলেন চন্দ্রনাথ পোদ্দার স্যার। মাস্টার্সে ম্যাথমেটিক্যাল মডেলিং ইন বায়োলজি ক্লাস নিতেন, সুউচ্চ ও স্পষ্ট কণ্ঠ তার, যথেষ্ট গোছানো লেকচার এবং যথেষ্ট বন্ধুসুলভ আচরণ (যেটা শিক্ষকদের কাছে সবসময় আমরা প্রত্যাশা করি ), যারা ম্যাথমেটিক্যাল মডেলিং ইন বায়োলজি ইতমধ্যে পরছ বা পরতে ইচ্ছুক অথবা এই সম্পর্কিত প্রজেক্ট(!) বা থিসিস(!) করছ বা করতে  ইচ্ছুক তাদের উদ্দেশ্যে আজ লিখতে বসলাম। প্রথমেই তো চন্দ্রনাথ স্যারের কথা বললাম, যারা ইচ্ছুক তারা স্যারের সাথে যোগাযোগ করতে পারো। ওহহো আরো একজন স্যার আছেন, শহীদুল ইসলাম স্যার; পপুলেশন মডেলিং, ডিনামিক্যাল এনালাইসিস এসব বিষয়ে উনার সাথে যোগাযোগ করতে পারো যদিও উনি বেশ অগোছালো আর মাঝেমধ্যে উদ্ভট আচরণ করেন।

আজ বিশেষত এপিডেমিক মডেলিং  এর একটা বইয়ের কথা জানাবো। বইটা হল Dynamical Modeling and Analysis  of Epidemics,  সম্পাদনা করেছেন Zhien Ma (Xi‘an Jiaotong University, China) এবং Jia Li (University of Alabama in Huntsville, USA)।

বইটার লিঙ্ক এখানে দিলাম

https://www.dropbox.com/s/o6jk17xkct2dyns/DMAE.pdf?m

বইয়ের বিস্তারিত সূচীপত্র এখানে উল্লেখ করলামঃ

1. Basic Knowledge and Modeling on Epidemic Dynamics 1

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 The Fundamental Forms of Epidemic Models . . . . . . . 6

1.2.1 Two fundamental dynamic models of epidemics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Fundamental forms of compartment models . . . 10

1.3 Basic Concepts of Epidemiologic Dynamics . . . . . . . . 14

1.3.1 Adequate contact rate and incidence . . . . . . . 14

1.3.2 Basic reproductive number and modified reproductive number . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3 Average lifespan and average infection age . . . . 22

1.4 Epidemic Models with Various Factors . . . . . . . . . . 25

1.4.1 Epidemic models with latent period . . . . . . . . 25

1.4.2 Epidemic models with time delay . . . . . . . . . 27

1.4.3 Epidemic models with prevention, control, or treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.4 Epidemic models with multiple groups . . . . . . 46

1.4.5 Epidemic models with age structure . . . . . . . . 63

1.4.6 Epidemic models with impulses . . . . . . . . . . 71

1.4.7 Epidemic models with migration . . . . . . . . . . 74

1.4.8 Epidemic models with time-dependent coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2. Ordinary Differential Equations Epidemic Models 83

2.1 Simple SIRS Epidemic Models with Vital Dynamics . . . 84

2.1.1 SIRS models with constant immigration and exponential death . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.1.2 SIRS models with logistic growth . . . . . . . . . 89

2.2 Epidemic Models with Latent Period . . . . . . . . . . . 96

2.2.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.3 Epidemic Models with Immigration or Dispersal . . . . . 113

2.3.1 Epidemic models with immigration . . . . . . . . 113

2.3.2 Epidemic models with dispersal . . . . . . . . . . 120

2.4 Epidemic Models with Multiple Groups . . . . . . . . . . 126

2.4.1 The global stability of epidemic model only with differential susceptibility . . . . . . . . . . . 131

2.4.2 The global stability of epidemic model only with differential infectivity . . . . . . . . . . . . . 133

2.5 Epidemic Models with Different Populations . . . . . . . 135

2.5.1 Disease spread in prey–predator system . . . . . . 136

2.5.2 Disease spread in competitive population systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.6 Epidemic Models with Control and Prevention . . . . . . 150

2.6.1 Epidemic models with quarantine . . . . . . . . . 150

2.6.2 Epidemic models with vaccination . . . . . . . . . 155

2.6.3 Epidemic models with treatment . . . . . . . . . 164

2.7 Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.7.1 Backward bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . 170

2.7.2 Hopf and Bogdanov–Takens bifurcations . . . . . 177

2.8 Persistence of Epidemic Models . . . . . . . . . . . . . . 186

2.8.1 Persistence of epidemic models of autonomous ordinary differential equations . . . . . . . . . . . 187

2.8.2 Persistence of epidemic models of nonautonomous ordinary differential system . . . 196

3. Modeling of Epidemics with Delays and Spatial Heterogeneity 201

3.1 Model Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3.1.1 Models incorporating delays . . . . . . . . . . . . 201

3.1.2 Patchy models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

3.2 Basic Techniques for Stability of Delayed Models . . . . 213

3.3 An SIS Epidemic Model with Vaccination . . . . . . . . 218

3.4 An SIS Epidemic Model for Vector-Borne Diseases . . . 222

3.5 Stability Switches and Ultimate Stability . . . . . . . . . 226

3.6 An SEIRS Epidemic Model with Two Delays . . . . . . . 235

3.7 Quiescence of Epidemics in a Patch Model . . . . . . . . 240

3.8 Basic Reproductive Numbers in ODE Models . . . . . . 245

3.9 Basic Reproductive Numbers of Models with Delays . . . 250

3.10 Fisher Waves in an Epidemic Model . . . . . . . . . . . . 256

3.11 Propagation of HBV with Spatial Dependence . . . . . . 266

4. The Epidemic Models with Impulsive Effects 273

4.1 Basic Theory on Impulsive Differential Equations . . . . 273

4.1.1 Differential equations with impulses . . . . . . . . 273

4.1.2 Existence and uniqueness of solutions . . . . . . . 275

4.1.3 Comparison principle . . . . . . . . . . . . . . . . 277

4.1.4 Linear homogeneous impulsive periodic systems and Floquet theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

4.2 SIR Epidemic Model with Pulse Vaccination . . . . . . . 282

4.2.1 SIR epidemic models with pulse vaccination and disease-induced death . . . . . . . . . . . . . 282

4.2.2 SIR epidemic model without disease-induced death . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

4.3 SIRS Epidemic Model with Pulse Vaccination . . . . . . 295

4.3.1 SIRS model with pulse vaccination and standard incidence rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

4.3.2 SIRS model with pulse vaccination and nonmonotonic incidence rate . . . . . . . . . . . . 301

4.4 SIS Epidemic Model with Pulse Vaccination . . . . . . . 306

4.5 SEIR Epidemic Model with Pulse Vaccination . . . . . . 309

4.6 SI Epidemic Model with Birth Pulse . . . . . . . . . . . 312

4.6.1 The model with constant births . . . . . . . . . . 313

4.6.2 The model with birth pulse . . . . . . . . . . . . 314

4.7 SIR Epidemic Model with Constant Recruitment and Birth Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

4.7.1 The model with constant birth . . . . . . . . . . 317

4.7.2 The model with pulse birth . . . . . . . . . . . . 319

4.7.3 The comparison between constant and pulse births . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

4.8 SIR Epidemic Models with Pulse Birth and Standard Incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

4.8.1 The existence and local stability of disease-free periodic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

4.8.2 The global stability of disease-free periodic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

4.8.3 The uniform persistence of the infection . . . . . 337

4.9 SIR Epidemic Model with Nonlinear Birth Pulses . . . . 342

4.9.1 Existence and stability of the disease-free periodic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

4.9.2 Existence of positive T-periodic solutions and bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

4.10 SI Epidemic Model with Birth Pulses and Seasonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

4.10.1 Existence and local stability of disease-free periodic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

4.10.2 Bifurcation analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

4.10.3 Global stability of disease-free periodic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

5. Structured Epidemic Models 371

5.1 Stage-Structured Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

5.1.1 A discrete epidemic model with stage structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

5.1.2 Epidemic models with differential infectivity structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

5.2 Age-Structured Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

5.2.1 Model formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

5.2.2 Existence of equilibrium . . . . . . . . . . . . . . 387

5.2.3 Stability of equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . 389

5.3 Infection-Age-Structured Models . . . . . . . . . . . . . . 392

5.3.1 An infection-age-structured model with vaccination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

5.3.2 An epidemic model with two age structures . . . 396

5.4 Discrete Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

5.4.1 The model formulation . . . . . . . . . . . . . . . 400

5.4.2 The existence of the endemic equilibrium . . . . . 403

5.4.3 The stability of the disease-free equilibrium . . . 404

5.4.4 The stability of the endemic equilibrium . . . . . 406

5.4.5 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

6. Applications of Epidemic Modeling 415

6.1 SARS Transmission Models . . . . . . . . . . . . . . . . 416

6.1.1 SARS epidemics and modeling . . . . . . . . . . . 416

6.1.2 A simple model for SARS prediction . . . . . . . 419

6.1.3 A discrete SARS transmission model . . . . . . . 425

6.1.4 A continuous SARS model with more groups . . . 431

6.2 HIV Transmission Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

6.2.1 The severity of HIV transmission . . . . . . . . . 437

6.2.2 An age-structured model for the AIDS epidemic  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

6.2.3 Discrete model with infection age structure . . . 446

6.3 TB Transmission Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

6.3.1 Global and regional TB transmission . . . . . . . 453

6.3.2 A TB model with exogenous re-infection  . . . . . 455

6.3.3 TB models with fast and slow progression, case detection , and two treatment stages . . . . . . . . 457

6.3.4 TB model with immigration . . . . . . . . . . . . 460

 

এখন, প্রশ্ন হল এতো বিস্তারিত সূচীপত্র কেন লিখলাম? উত্তর আমি নিজেই দিচ্ছি।

(১)যারা এপিডেমিক মডেলিং বা বায়োলজিক্যাল মডেলিং নিয়ে প্রজেক্ট(!) বা থিসিস(!) করতে ইচ্ছুক তারা যাতে পছন্দের টপিক্স খুজে নিতে পারে (যদিও গুগল করলে আরো অনেক টপিক্স খুজে পাবে) এবং যাতে পছন্দের টপিক্স তৈরি করে নিতে পারে(যদিও এত সহজ না, আরো খাটতে হবে)।

 

(২)যারা এপিডেমিক মডেলিং বা বায়োলজিক্যাল মডেলিং নিয়ে প্রজেক্ট(!) বা থিসিস(!) করতে ইচ্ছুক তারা যাতে বুঝতে পারে ম্যাথমেটিক্যাল মডেলিং ইন বায়োলজি এর একটা অংশ এপিডেমিক মডেলিং নিয়েই ইতমধ্যে অনেক কাজ হয়ে গেছে বা হচ্ছে। এটা যদিও সাধারণ কথা, ছোট কোনো বিষয় নিয়েই অনেক কাজ হয়ে গেসে বা হচ্ছে। তাতে কি? পরবো না? কাজ করবো না? অবশ্যই পরবো, অবশ্যই করবো। আসল কথা হল, গণিত বিভাগে (এবং অন্যান্য অনেক বিভাগেই) অনেকেই অন্যান্যদের লেখা কপি পেস্ট করে নিজেদের প্রজেক্ট নামে চালাতে চাচ্ছে বা চালাচ্ছে এমনকি সেগুলো সস্তা জার্নালে নিজেদের নামে ছাপাচ্ছে। তাদেরকে লজ্জা পাওয়ার আবেদন জানাচ্ছি, প্রজেক্ট(!) বা থিসিস(!) এর পাশে আশ্চর্যবোধক চিহ্ন (!) দিয়ে তাদেরকে ব্যঙ্গ করলাম। অন্যদের লেখা বা কাজ নিজে পরতে বা সেটা পুনরায় নিজে করতে কোনই অসুবিধা নাই, কিন্তু সেটা নিজের নামে না চালিয়ে বললেই তো হয় যে এটা অমুকের, এটা রি-প্রডিউসড বা এটা সম্পাদিত এটসেট্রা!

 

<<গণিত বিভাগের প্রিয় ছোটভাই অনির্বাণ বিশ্বাস এর ফেসবুক ইনবক্স মেসেজ দেখে এবং তার সাথে কথা বলার পর লিখেই ফেললাম।>>

Dhiman Nath
Author: Dhiman Nath

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/dhiman/1102/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

2 comments

  1. বইটা তো ডাউনলোড হচ্ছে না……

    1. আপ্লোড করা ফাইল ডাওনলোডে প্রব্লেম হচ্ছে। পোস্টটি আপডেট করা হয়েছে, লিঙ্ক দেয়া হয়েছে। লিঙ্ক টা কপি করে নতুন ট্যাব এ পেস্ট করে ডাওনলোড করতে পারবেন।
      পুনশ্চঃ লিঙ্ক https://www.dropbox.com/s/o6jk17xkct2dyns/DMAE.pdf?m

মন্তব্য করুন

Discover more from বর্গমূল | Borgomul

Subscribe now to keep reading and get access to the full archive.

Continue reading