ফাঁকা বিকেল পেয়েছি। হাওয়া একটু বদলানো যাক। সায়েন্সফিকশনই বরং লিখে ফেলি। প্রিয় লেখক প্রফেসর জাফর ইকবালের নোমেনক্ল্যাচার অনুসরণে গল্পের নায়কের নাম রুহান্রুহান। মহাকাশযানের কন্ট্রোল প্যানেলে ইঞ্জিনের মৃদু গুঞ্জন শোনা যাচ্ছে। রুহান্রুহান বিশাল জানালা দিয়ে অনন্তনক্ষত্রবীথির দিকে তাকিয়ে আছে। হঠাৎ কমিউনিকেশন মডিউলের বাতি জ্বলে উঠল। সুইচ অন করতেই চমকে উঠল রুহান্রুহান! ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় গণিত বিভাগের ভাইভা বোর্ড থেকে ফোন! তাকে বলা হল, “বাবা, একটা ভেক্টর এঁকে দেখাও তো?” রুহান্রুহান ভড়কে গেল। সে ত্রিমাত্রিক প্রাণী নয়। চতুর্মাত্রিকও নয়। সে বহুমাত্রিক। তার বোধগম্য জগত দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতার মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়। তার জগত ইনফাইনাইট ডাইমেনশনাল। ভেক্টর বলতে সে মানবজাতির মত $\{\hat{i}, \hat{j},\hat{k}\}$ ওয়ালা জিনিস গুলোকেও বোঝেনা। তার কাছে একেকটা ভেক্টর হচ্ছে একেকটা ফাংশন। তার বেসিস সেট $\{\hat{x_1}, \hat{x_2},\hat{x_3}, \hat{x_4}, \ldots, \hat{x_n}, \ldots\}$ … অসীম, অনন্ত, অনন্ত জলিল!

রুহান্রুহান তার অসংখ্যমাত্রিক জগতে একটা ফাংশনের ছবি আঁকতে বসল। $\hat{x_1}$-অক্ষ বরাবর একটু এগোল, $\hat{x_2}$ বরাবর একটু হাঁটল, $\hat{x_3}$ বরাবর আরেকটু.. এভাবে অনন্ত অসীম ডাইমেনশন বরাবর একটু একটু করে হেঁটে শেষ পর্যন্ত রুহান্রুহান ফাংশনটা খুঁজে পেল কিনা, ভাইভায় পাশ নম্বর উঠল কিনা জানতে চাইলে চোখ রাখুন ভবিষ্যতের কোন একুশে বইমেলায়। আমার লেখা সায়েন্সফিকশন “রুহান্রুহানের অনন্তবেসিস হন্টন” বেস্টসেলারে পরিণত হবার আগে একটু পুরানো গল্প করা যাক।

ফার্স্টইয়ার-সেকেন্ডইয়ারে “ফুরিয়ার” শব্দটা নিয়ে আমার খুব আগ্রহ ছিল। ওটা যখন পড়ব, তখন বড় হয়ে যাব – প্রজাতির একটা ভাব। থার্ডইয়ারে প্রচন্ড উৎকন্ঠা নিয়ে একদিন ক্লাসে বসলাম। কিন্তু তারপর ফুরিয়ার সিরিজের নামে যখন
\begin{eqnarray}
f(x) \ = \ a_0
\ + \ \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)
\ + \
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)
\label{eq:fourierSeries}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
a_0 \ = \ \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x)\ dx
\label{eq:a_0}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
a_n \ = \ \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x)\ \cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right) \ dx
\label{eq:a_n}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
b_n \ = \ \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x)\ \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right) \ dx
\label{eq:b_n}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\tilde{f}(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ikx} f(x) \ dx
\label{eq:fourierTransform}
\end{eqnarray}

-এই সব জিনিস পত্র বোর্ডে হানা দিতে শুরু করল, তখন মনে হতে লাগল প্রতিদিন জনাব জোসেফ ফুরিয়ার পায়চারি করার উদ্দেশ্যে কবর থেকে উঠে এসে রুটিনকরে আমার দু’গালে দুটো চড় কষিয়ে যাচ্ছেন। ফুরিয়ার সিরিজ, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম – শব্দগুচ্ছ গুলো নিয়ে ভয়-ভিতি জমা হতে থাকল।

সেই ভয়-ভিতি আমার এখনো কাটেনি। হিট ইকুয়েশন, সিগনাল প্রসেসিং, অডিও কম্প্রেশন, DNA-সিকুয়েন্স এ্যানালিসিস, সমুদ্রের ঢেউ এনালিসিস, হেন এ্যানালিসিস, তেন এ্যানালিসিস – এসবের কিছুই আমি জানিনা। আমি শুধু কোয়ান্টাম মেক্যানিক্সে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের অতি সামান্য গল্প জানি। সে গল্প আরেকদিন করব। আজকে একফোটা কোয়ন্টাম মেক্যানিক্সও লাগবেনা। আজকে লাগবে কাগজকলম আর আমাদের গল্পের নায়ক রুহান্রুহান।

একটা ইনফাইনাইট সিরিজের কথা চিন্তা করুন। নিশ্চয়ই চোখে ভাসছে
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^\infty a_n x_n \ = \
a_0 x_0 + a_1 x_1 +a_2 x_2+ \ldots +a_n x_n + \ldots
\label{eq:infiniteSeriesGeneral}
\end{eqnarray}
-এই ধরনের কিছুর ছবি। উপরের সিরিজে টার্মের সংখ্যা অসংখ্য। $a_n$ গুলোকে আমরা কোইফিশিয়েন্ট নামে ডাকি, আর $x_n$ গুলোকে ভ্যারিয়েবলস। এবার আমাদের চিরচেনা কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেটে একটা ভেক্টর কল্পনা করুন। যেমন খুশি তেমন ভেক্টরঃ
\begin{eqnarray}
5 \hat{i} + 10.20 \ \hat{j} + 3.14 \ \hat{k}
\end{eqnarray}
এটাকে কি একটা ফাইনাইট সিরিজ হিসেবে ভাবা যায়না? নিশ্চয়ই যায়!

\begin{eqnarray}
&& 5 \hat{i} + 10.20 \ \hat{j} + 3.14 \ \hat{k} \nonumber \\
&=& a_0 x_0+ a_1 x_1+ a_2 x_0 \nonumber \\
&=& \sum_{n=1}^3 a_n x_n
\label{eq:vector}
\end{eqnarray}
যেখানে $a_0 = 5, a_1 = 10.20, a_2 = 3.14$ এবং $x_0 = \hat{i}, x_1 = \hat{j}, x_2 = \hat{k}$.

\eqref{eq:vector} এর $x_n$-ভ্যারিয়েবল গুলোকে আমরা বেসিস নামে ডাকি। লিনিয়ার এ্যালজ্যাব্রা থেকে আমরা শিখেছি, ভদ্রভাষায় \eqref{eq:vector} ‘কে $x_n$ গুলোর লিনিয়ার কম্বিনেশন বলে। $a_n$ গুলোর ইচ্ছেমত মান নিয়ে এরকম যত লিনিয়ার কম্বিনেশন সম্ভব সেই সবগুলো লিনিয়ার কম্বিনেশনের কালেকশনকে আমরা একটা স্পেস বলি। এবং বলি, স্পেসটা $x_n$-এর বেসিসে তৈরি হয়েছে । \eqref{eq:vector}-এর ক্ষেত্রে সেই স্পেসটা আমাদের পরিচিত ত্রিমাত্রিক জগত। $\{\hat{i}, \hat{j},\hat{k}\}$ সেটে ভেক্টরের সংখ্যা তিনটে। তাই এই স্পেসের ডাইমেনশন তিন। আমাদের চেয়ে উন্নত কোন চতুর্মাত্রিক প্রাণী থেকে থাকলে তাদের জন্য পরিচিত জগতের ডাইমেনশন চার। প্রাণী যদি অতিরিক্ত উন্নত হয়, সে যদি অসংখ্য ডাইমেনশন পারসীভ করতে পারে, তাহলে তার জগত ইনফাইনাইট ডাইমেনশনাল। স্বভাবতই, রুহান্রুহান যদি একটা ভেক্টর লিখতে চায়, তাহলে ইকুয়েশন \eqref{eq:infiniteSeriesGeneral} ছাড়া তার গতি নেই। কত গুলো বেসিসই বা লিখবে? অসংখ্য তো! প্রশ্ন হল এরকম ইনফাইনাইট ডাইমেনশনাল রুহান্রুহানীয় স্পেস কি বাস্তব সম্মত?

এবার সায়েন্সফিকশনের হাঁড়ি ভেঙে দিচ্ছি। ও ব্যাটা রুহান্রুহান আসলে ফুরিয়ার বেসিসের প্রাণী। আমাদের বেসিস যেমন $\{\hat{i}, \hat{j},\hat{k}\}$, তার বেসিস তেমনি
\begin{eqnarray}
\{1,\sin x, \sin 2 x, \sin 3 x, \ldots, \sin n x, \ldots \, \cos x, \cos 2 x, \cos 3 x, \ldots, \cos m x, \ldots \}
\label{eq:fourierBasis}
\end{eqnarray}
-এই প্রজাতির। কিন্তু সে আবার কেমন কথা! আমরা জেনে এসেছি, বেসিস সেটের ভেক্টর গুলো একটা আরেকটার সাথে অর্থোগনাল। অর্থাৎ তাদের মধ্যেকার ইনার প্রোডাক্ট শূন্য। এই সাইন-কোসাইন ফাংশন গুলোর জন্যও কি ইনারপ্রডাক্ট শুন্য নাকি?

রুহান্রুহানদের ইনার প্রডাক্টের ডেফিনিশনও যে আমাদের ইনারপ্রডাক্টের (ডট গূননের) মত হতে হবে – তা তো না। আমরা দুটো ভেক্টর, $\vec{A}$ আর $\vec{B}$-এর ইনারপ্রডাক্ট নেই এভাবেঃ
\begin{eqnarray}
\vec{A}\cdot \vec{B} = |\vec{A}| . |\vec{B}| \cos \theta
\label{eq:InnerProdEuclidean}
\end{eqnarray}

রুহান্রুহানদের বেলায় ইনারপ্রডাক্টের সূত্রটা হলঃ
\begin{eqnarray}
\vec{A}\cdot \vec{B} = \int _{-\pi}^\pi \vec{A}. \vec{B} dx
\label{eq:InnerProdFourier}
\end{eqnarray}
$\vec{A}, \vec{B}$ হিসেবে \eqref{eq:fourierBasis} থেকে যে কোন দুটো ফাংশন নিয়ে \eqref{eq:InnerProdFourier}-নম্বর যন্ত্রে ঢুকিয়ে দিন, দেখুন রেজাল্ট কি আসে। একটা এখানেই চেষ্টা করে দেখিঃ
\begin{eqnarray}
&& \int_{-\pi}^\pi \sin (nx) \cos (mx) dx
= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi 2 \sin (nx) \cos (mx) dx
\nonumber \\
&=& \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi \left[ \sin\left(n+m)x\right)
+ \sin \left( (n-m)x\right) \right] dx \nonumber \\
&=&
\frac{-1}{2} \left(\frac{1}{n+m}\right) \cos \left((n+m)x \right)\bigg|_{-\pi}^\pi \nonumber
\\
&& + \frac{-1}{2} \left(\frac{1}{n-m}\right)
\cos \left((n-m)x \right)\bigg|_{-\pi}^\pi \nonumber
\\
&=& 0
\end{eqnarray}

হয়েছে! অন্য কেস গুলোও ঝটপট করে ফেলুন। বা উচ্চমাধ্যমিকের ছাত্রপড়ানোর অভ্যেস থাকলে “ইন্ট্রোডাকশন্টুফুরিয়ারএ্যানালিসিস” নামে তাদের ঘাড়েও চাপিয়ে দিতে পারেন। $n\neq m$ হলেই ইনারপ্রডাক্ট ভ্যানিশঃ
\begin{eqnarray}
\begin{matrix}
&& \int_{-\pi}^\pi \sin(nx)\sin(mx) dx = 0,
&& \int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(mx) dx= 0, \\
&& \int_{-\pi}^\pi \sin(nx) dx= 0,
&& \int_{-\pi}^\pi \cos(nx) dx= 0.
\end{matrix}
\label{eq:orthogonalityCond}
\end{eqnarray}

বদরাগী পাঠক হুংকার দিয়ে উঠবেন, কার্টেসিয়ান বেসিস ভেক্টর গুলোর তো নিজেরদের মধ্যে ইনার প্রডাক্ট নিলে রেজাল্ট হয় $1$. ফুরিয়ার বেসিসে এদেরও কি তাই হয়? চলুন দেখি $n = m$ নিলে ঘটনা কী দাঁড়ায়ঃ
\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(mx)dx &=&
\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(nx)dx \nonumber \\
&=& \int_{-\pi}^\pi \cos^2(nx) dx =
\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi 2 \cos^2(nx) dx \nonumber \\
&=& \frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi [1+\cos(2nx)]dx \nonumber \\
&=& \frac{1}{2} [x]_{-\pi}^\pi + \frac{1}{2} [\frac{1}{2n} \sin(2nx)]_{-\pi}^\pi \nonumber \\
&=& \pi
\end{eqnarray}

একই ভাবে
\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^\pi \sin(nx)\sin(nx)dx = \pi
\end{eqnarray}

$1$ তো এলনা। তবে প্রতিবারই যেহেতু $\pi$ আসছে, তাই নো চিন্তা। কান ধরে নরমালাইজ করে দেব! আমার মনে হয় প্রত্যেকটা বেসিস ভেক্টরের সাথে আঠা দিয়ে $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ জুড়ে দিলেই তাদের নিজেদের মধ্যেকার ইনারপ্রডাক্ট $1$ হয়ে যাবে। চেক করে দেখুন। নরমালাইজেশন ফ্যাক্টর গুলো মনে রাখা আমার সাধ্যের বাইরে। খালি ভুলে যাই। শুধু $1$ এর সাথে বোধ হয় $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ লাগাতে হবে।

গণিতজ্ঞরা কিন্তু বেজায় খুশি। আমরা একটা প্রলয়ঙ্করী কাজ করে ফেলেছি। একটা কমপ্লিট সেট অফ অর্থনর্মাল বেসিস ভেকটরস খুঁজে বার করেছি! প্রশ্ন হল, এই বেসিস ভেক্টরদের লিনিয়ার কম্বিনেশনে রুহান্রুহান’রা কাদেরকে রিপ্রেজেন্ট করবে? উত্তরঃ মোটামুটি সব ভদ্র ফাংশনকে। পিরিওডিক ফাংশন হলে তো কথাই নেই! কন্টিনিউইটিও লাগবেনা। পিসওয়াইজ কন্টিনিউয়াস হলেই চলবে। আর পিরিওডিক যদি না হয়, তবুও চলবে, তবে তখন আমাদের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের চাল চালতে হবে। কিন্তু কাজ গুলো সম্ভব হবে কিভাবে?

সে গল্প পরের পোস্টে। অসম্ভবকে সম্ভব করাই তো রুহান্রুহানের কাজ!
; -)

.
পরের পোস্ট >> 

.

Author: Galib Hassan

Mischief Managed.. 😉