অর্থনর্মাল বেসিসের মন্ত্রে পোলার কোঅর্ডিনেট

আজকের কাজ হল, পোলার কোঅর্ডিনেটকে ঢেলে সাজাব। নয়ত পরের পোস্ট গুলোতে সুবিধা করতে পারবনা। তো ঢেলে সাজানোর ব্যাপারটা কী? ব্যাপারটা হল, পোলার কোঅর্ডিনেটের ছত্রছায়ায় দুটো অর্থনর্মাল ভেক্টর খুঁজে বার করব। যাঁদের বহুদিন লিনিয়ার এ্যালজেব্রার সাথে আড়ি, তাঁদের জন্য হিন্টঃ দুটো ভেক্টর $u,v$ অর্থগনাল মানে হচ্ছে $u$ আর $v$-এর মধ্যেকার ইনার প্রডাক্ট, $\langle u,v \rangle = 0$. আর $u$ এবং $v$ অর্থনর্মাল মানে হচ্ছে, তারা অর্থগনাল তো বটেই, প্লাস, তাদের নর্ম (বা অরিজিন থেকে দূরত্ব) $1$. অর্থাৎ তারা নিজেরা একক ভেক্টর। সবচে’ পরিচিত উদাহরনঃ কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেটের চিরচেনা $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$. তারা নিশ্চিতভাবেই অর্থনর্মাল ভেকটরস।

এখন পোলার কোঅর্ডিনেটে আসি। সবাই জানি এই কোঅর্ডিনেট সিস্টেমে $x$ আর $y$ কম্পনেন্টের ডেফিনিশন হচ্ছে,
\begin{eqnarray}
x = r \cos \theta, \quad \quad y = r \sin \theta
\end{eqnarray}
তাহলে যেকোন বিন্দুর পজিশন ভেক্টর $\vec{r}$ হবেঃ
\begin{eqnarray}
\vec{r} &=& x \hat{i} + y \hat{j} \nonumber \\
&=& ( r \cos \theta) \ \hat{i} + (r \sin \theta) \ \hat{j}
\end{eqnarray}
ছোটবেলাতেই শিখেছি, একটা ভেক্টরের দিকে একটা ইউনিট-ভেক্টর নিতে গেলে তাকে তার মান দিয়ে (অর্থাৎ নর্ম দিয়ে) ভাগ করে দিতে হয়। তাহলে $\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$ অবশ্যই একটা ইউনিট-ভেক্টর। $\vec{r}$এর নর্মঃ
\begin{eqnarray}
|\vec{r}| = \sqrt{\vec{r} \cdot \vec{r}} = \sqrt{(x \hat{i} + y \hat{j})\cdot (x \hat{i} + y \hat{j})} = \sqrt{r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta )} = r
\label{eq:normR}
\end{eqnarray}

আমাদের নতুন ইউনিট ভেক্টরটার নাম দেওয়া যাক $\hat{r}$। তাহলেঃ
\begin{eqnarray}
\hat{r} =: \frac{\vec{r}}{r} = \frac{1}{r} [( r \cos \theta) \ \hat{i} + (r \sin \theta) \ \hat{j}] = \cos \theta \ \hat{i} + \sin \theta \ \hat{j}
\nonumber \\
\therefore\ \ \hat{r} =
\left(
\begin{matrix}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{matrix}
\right)
\label{eq:rUnitDef}
\end{eqnarray}
তিনরকমের “r” চলে এলো। $\vec{r}, r, \hat{r}$. আরেকবার গুছিয়ে বলিঃ

$\vec{r}$ হচ্ছে আমাদের পার্টিকেলের পজিশন ভেক্টর,
$r$ হচ্ছে সেই পজিশন ভেক্টরের মান,
$\hat{r}$ হল সেই পজিশন ভেক্টরের দিকে একটা একক ভেক্টর।

প্রথমে তারছেঁড়া নোটেশন মনে হলেও পরে এতে সুবিধাই হবে। যাহোক, পরের স্টেপে যাই। ইউনিট ভেক্টর $\hat{r}$ তো পাওয়া গেল। আমাদের কথা ছিল এর প্রতি অর্থনর্মাল আচরণ করে এমন আরেকটা ইউনিট ভেক্টর খুঁজে বার করব। নিচের ছবিটির দিকে তাকান।

Fig 1. $\hat{r}$ এর অর্থনর্মালিটির খোজ দ্য সার্চ।

বোঝাই যাচ্ছে, $\hat{r}$ এর ফাইনয়াল পয়েন্ট, ইউনিট রেডিয়াসের একটা বৃত্তের পরিধির উপর। তাহলে এই বৃত্তের পরিধির ওপরেই আরেকটা পয়েন্ট খুঁজে বের করা যাক যার সাথে $\hat{r}$ লম্ব। খুবই সহজ কাজ। $\hat{r}$ ভেক্টরের ধারক-রেখার সমীকরণঃ
\begin{eqnarray}
y = mx + c = \tan \theta \ x+ 0 = \frac{y \ measure}{x\ measure}\ x = \frac{1 \cdot \sin \theta}{1 \cdot \cos \theta} \ x =
\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \ x
\end{eqnarray}
তাহলে তার উপর লম্ব রেখা হবে স্বভাবতইঃ
\begin{eqnarray}
y_{\perp} = \left( -\frac{1}{m} \right) x + c = – \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) \ x
\end{eqnarray}

সুতরাং, $(-\sin \theta, \cos\theta)$ অথবা $(\sin \theta, -\cos\theta)$ দুটোই আমাদের নতুন ইউনিট ভেক্টর হিসেবে পারফেক্ট। আমি প্রথমটাই বেছে নিচ্ছি।

চেক করে দেখুন, $(-\sin \theta \ \hat{i} + \cos\theta \ \hat{j})$ নিঃসন্দেহে একটি ইউনিট ভেক্টর। এবং, এটাকে যদি আমি অরিজিন থেকে সরিয়ে $\hat{r}$-এর ফাইনাল পয়েন্টে বসাই, তাহলে দেখা যাবে, ভেক্টরটি পরিধির উপর ঐ পয়েন্টে ট্যানজেন্ট বরাবর কাজ করছে (খুবই স্বাভাবিক। পরিধিতে ব্যসার্ধের উপর লম্ব স্পর্শক ছাড়া আর কে হবে? ক্লাস টেনের উপপাদ্য) ।
এখন আমাদের $\hat{r}$ যদি $\theta$’র একটা নতুন ভ্যালু নিয়ে কাউন্টার-ক্লকওয়াইজ একটু ঘুরে যায়, নবজাতক ইউনিট-ভেক্টরটিও তাহলে নতুন $\theta$ অনুযায়ী একটু সরে $\theta$’র চেইঞ্জের দিকেই তীর চিহ্ন তাক করে বসে থাকে। তাহলে নবজাতকের নাম অকপটে রাখতে পারি: $\hat{\theta}$ । এই কাউন্টার-ক্লকওয়াইজ ডিরেকশনের জন্যই $\hat{\theta}$-এর প্রথম ক্যান্ডিডেটটি ভোটে জিতেছে। কারও ইচ্ছে হলে ক্লকওয়াইজ-টাইপটা নিয়েও কাজ চালাতে পারেন।

তাহলে আমরা দুটো অর্থনর্মাল ভেক্টর পেয়ে গেছি!
\begin{eqnarray}
\hat{r} =
\left(
\begin{matrix}
\cos \theta \\ \sin \theta
\end{matrix}
\right), \quad \quad
\hat{\theta} =
\left(
\begin{matrix}
– \sin \theta \\ \cos \theta
\end{matrix}
\right),
\end{eqnarray}

নিঃসন্দেহে তারা অর্থনর্মাল, কারন
\begin{eqnarray}
|\hat{r}| &=& \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \nonumber \\
|\hat{\theta}| &=& (-\sin^2 \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1 \nonumber \\
\hat{r}\cdot \hat{\theta} &=& -\cos \theta \sin\theta + \sin\theta \cos\theta = 0
\label{eq:orthonormality}
\end{eqnarray}

নতুন দিগন্ত উন্মোচিত করে ফেললাম একদম। যত ভেকটরকে আগে কার্টেসিয়ান $\hat{i}, \hat{j}$ বেসিসে লিখতাম, সব গুলোকে এখন $\hat{r}, \hat{\theta}$ বেসিসে লিখে ফেলতে পারব।

Fig: 2. $\vec{r}, r, \hat{r}$ এবং $\theta, \hat{\theta}$

যেকোন আরবিট্রারি পয়েন্টের পজিশন ভেক্টর (অর্থাৎ সেই পুরাতন $\vec{r}$) এই নতুন বেসিসে তাহলে কেমন দেখাবে? খুবই সহজঃ
\begin{eqnarray}
\vec{r} = r \hat{r}
\label{eq:defR}
\end{eqnarray}
নতুন কিছুই না। ইকুয়েশন \eqref{eq:rUnitDef}-এর প্রথম দিকে আমরা অলরেডি লিখে ফেলেছি এই রিলেশন।

ধরাযাক এই পজিশন ভেক্টরটা একটা পার্টিকেলের (বা বস্তুর, বা বস্তার) পজিশন ডেস্ক্রাইব করছে। সেই পার্টিকেল যদি একটু মতিচ্ছন্ন হয়, অর্থাৎ সে যদি কোন বেগ নিয়ে ঘোরাঘুরি করতে থাকে, তাহলে তার সেই বেগকেও কি আমরা এই বেসিসে লিখতে পারব? নিশ্চয়ই পারব। কিন্তু তার আগে একটু ছোট অংক কষে রাখি।

লক্ষ্য করুন, $\hat{r}$ বা $\hat{\theta}$ -কাররই কিন্তু $r$-ডিপেন্ডেন্স নেই। তবে তাদের দুজনের মধ্যেই $\theta$ আছে। তাহলে,
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \hat{r}}{\partial r} = 0 = \frac{\partial\hat{\theta}}{\partial r}
\label{eq:rDerivOfUnitVects}
\end{eqnarray}

যার স্বাপেক্ষে ডেরিভেটিভ নিলাম, সেটা কিন্তু ভেক্টর $\vec{r}$ নয়, শুধুই রেডিয়াস $r$. এবার $\theta$’র স্বাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করে দিইঃ
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \hat{r}}{\partial \theta} =
\left(
\begin{matrix}
– \sin \theta \\
\cos \theta
\end{matrix}
\right) = \hat{\theta}
\nonumber \\
\frac{\partial \hat{\theta}}{\partial \theta} =
\left(
\begin{matrix}
– \cos \theta \\
– \sin \theta
\end{matrix}
\right) = -\hat{r}
\label{eq:thetaDerivOfUnitVects}
\end{eqnarray}

বেগের কথা ভাবুন। নিঃসন্দেহে সেটা $\dot{\vec{r}}$ হবে। তাহলে,
\begin{eqnarray}
\dot{\vec{r}} = \frac{d}{dt}(r \hat{r}) = \dot{r} \hat{r} + r \dot{\hat{r}}
\label{eq:Velocity}
\end{eqnarray}
ওপরের ইকুয়েশনটা কার্টেসিয়ান আর পোলার কোঅর্ডিনেটের মধ্যে পার্থক্য চোখে আঙ্গুল দিয়ে দেখিয়ে দিচ্ছে। কার্টিসিয়ান সিস্টেমে ইউনিট ভেক্টর $\hat{i}, \hat{j},\hat{k}$ -কখনই চেইঞ্জ হবেনা। পার্টিকেল তার অবস্থান বদলালেও না, সময় অতিবাহিত হলেও না। তারা কনস্ট্যান্ট। আমাদের নতুন বেসিস ভেক্টরস $\hat{r}, \hat{\theta}$ কিন্তু তেমন নয়। পার্টিকেল যদি একটু গতিশীল হয়, তাহলেই তারা সময়ের সাথে বদলে যাবে। কারন নতুন অবস্থানের কারনে পার্টিকেলের পজিশন ভেক্টর $x$-অক্ষের সাথে নতুন কোণ তৈরি করবে। তাই $\dot{\hat{r}}$ ‘কে আমরা মোটেও, ইন জেনারেল, জিরো বলে চালিয়ে দিতে পারবনা। এখন, চেইনরুল বলেঃ

\begin{eqnarray}
\dot{\hat{r}} &=& \frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{\partial \hat{r}}{\partial r} \frac{d r}{dt} + \frac{\partial \hat{r}}{\partial \theta} \frac{d \theta}{dt}
= 0 + \hat{\theta} \dot{\theta} \nonumber \\
\therefore \ \ \dot{\hat{r}} &=& \dot{\theta} \hat{\theta}
\label{eq:timeDerivOfUnitR}
\end{eqnarray}

উপরের রিলেশনে পৌঁছাতে আমরা ইকুয়েশন \eqref{eq:rDerivOfUnitVects} এবং \eqref{eq:thetaDerivOfUnitVects} থেকে পাওয়া মান গুলো জায়গামত বসিয়ে দিয়েছি। এবার বেগে ফিরে যাই। ইকুয়েশন \eqref{eq:Velocity} থেকেঃ

\begin{eqnarray}
\dot{\vec{r}} =
\dot{r} \hat{r} + r \dot{\theta} \hat{\theta}
\label{eq:velocityFinal}
\end{eqnarray}

একই ভাবে ত্বরণ, $\ddot{\vec{r}}$ -ও বেরিয়ে পড়বেঃ
\begin{eqnarray}
\ddot{\vec{r}} = \frac{d}{dt}(\dot{r} \hat{r} + r \dot{\theta} \hat{\theta}) =
\ddot{r} \hat{r} + \dot{r} \dot{\hat{r}} + \dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta} + r \ddot{\theta}\hat{\theta} + r \dot{\theta} \dot{\hat{\theta}}
\label{eq:accelerationIncomplete}
\end{eqnarray}

কিন্তু
\begin{eqnarray}
\dot{\hat{\theta}} = \frac{d\hat{\theta}}{dt} =
\frac{\partial \hat{\theta}}{\partial r} \frac{d r}{dt}
+
\frac{\partial \hat{\theta}}{\partial \theta} \frac{d \theta}{dt}
= 0 + -\hat{r} \dot{\theta}
= -\dot{\theta}\hat{r}
\label{eq:timeDerivOfUnitTheta}
\end{eqnarray}

সুতরাং ইকুয়েশন \eqref{eq:accelerationIncomplete} দাঁড়াবেঃ
\begin{eqnarray}
\ddot{\vec{r}} &=&
\ddot{r} \hat{r} +
\dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta} +
\dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta} +
r \ddot{\theta}\hat{\theta} –
r \dot{\theta} \dot{\theta}\hat{r}
\nonumber \\
\therefore
\ \ \ddot{\vec{r}} &=&
(\ddot{r} – r \dot{\theta}^2 ) \ \hat{r} \ + \
(2 \dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\ \hat{\theta}
\label{eq:acceleration}
\end{eqnarray}
এই এক্সপ্রেশন গুলি ছাড়া পরের পোস্টে গ্র্যাভিটেশনাল অরবিট বের করতে পারবনা।

একটা স্পেশাল মোশন নিয়ে দু’চার কথা বলে উচ্চমাধ্যমিক শিক্ষার্থী (এবং উচ্চমাধ্যমিক গৃহশিক্ষক)’দের খুশি করেই এই পোস্টটার ইতি টানব। স্পেশাল কেসটা হল, ধরুন, একটা পার্টিকেল একটা বিন্দুকে কেন্দ্র করে বৃত্তাকার পথে সমবেগে ঘুরছে। অর্থাৎ সময়ের সাথে তার পজিশন ভেক্টর $\vec{r}$-এর দিক বদলালেও মান $r$ বদলাচ্ছেনা। সুতরাং তার ক্ষেত্রে $\dot{r} = 0$. আবার “সমবেগে” ঘোরার কারণে সে সমান সময়ে সমান এ্যাঙ্গুলার ডিস্টেন্স $\theta$ অতিক্রম করছে। অর্থাৎ তার কৌনিক বেগ (বা angular velocity) $\dot{\theta} = constant$, সুতরাং, $\ddot{\theta}=0$.

তাহলে ইকুয়েশন \eqref{eq:velocityFinal} অনুযায়ী তার বেগঃ
\begin{eqnarray}
\dot{\vec{r}} =
\dot{r} \hat{r} + r \dot{\theta} \hat{\theta} = 0 + r \dot{\theta} \ \hat{\theta}
\end{eqnarray}
এ্যাঙ্গুলার ভেলোসিটিকে $\dot{\theta}$ দ্বারা না লিখে উচ্চমাধ্যমিকীয় টার্মিনলজি অনুযায়ী $\omega$ দিয়ে লিখলেই পরিচিত কিছু এক্সপ্রেশন বেরিয়ে পড়বেঃ

\begin{eqnarray}
\dot{\vec{r}} = (\omega r) \ \hat{\theta}
\label{eq:velocityInOmega}
\end{eqnarray}

একই ভাবে \eqref{eq:acceleration} সমীকরণ থেকে ত্বরণ,
\begin{eqnarray}
\ddot{\vec{r}} = -r\dot{\theta}^2 \ \hat{r} + 0
= (-\omega^2 r) \ \hat{r}
\label{eq:accelerationInOmega}
\end{eqnarray}

চেনা কি যাচ্ছে পুরনো বন্ধুদের? ইন্টারমিডিয়েটে জিনিসগুলো আমি আসলে কিছুই বুঝতামনা। ফাঁকিবাজ এবং গর্দভ সত্ত্বার সমন্বয়ে আমার সেই ছোট্ট সেলফ সেসময় এসব কিছু পাশ কাটিয়ে গিয়েছিল। কিন্তু এখন কিছুটা বুঝতে পারছি। পোলার কোঅর্ডিনেটের এই ফরমুলেশনের এলিগেন্সটা দেখেছেন? না দেখতে পেলে ইকুয়েশন \eqref{eq:accelerationInOmega}-এর ডানদিকে তাকান। সে ঘোষনা করছে, একটা পার্টিকেল যদি সমকৌণিক বেগে বৃত্তাকার পথে ঘোরে, তাহলে $\hat{r}$ বরাবর তার ত্বরণ হবে $(-\omega^2 r)$. অর্থাৎ, উল্টোদিকে $-\hat{r}$ বরাবর তার ত্বরণ হবে $\omega^2 r$. কিন্তু সেই উল্টোদিকটা কোন দিক ভাবুন তো? আমরা $\hat{r}$ নিয়েছিলাম অরিজিন থেকে রেডিয়াস বরাবর বাহিরের দিকে। তাহলে ঐ “উল্টোদিকটা” হল কেন্দ্রের দিক। সুতরাং আমরা যেটা পেয়েছি, সেটা ছোটবেলার কেন্দ্রমুখী ত্বরণ!

ওহ, আরেকটা জরুরী বিষয় তো বলাই হয়নি। উচ্চমাধ্যমিকে আমরা সবাই কোনিক সেকশনস শিখেছি। সার্কেল, প্যরাবোলা, ইলিপ্স আর হাইপারবোলা নিয়ে কমবেশি সবারই ধারনা আছে। গণিত বিভাগের মানুষ জন তো বেশ যত্ন করে জেনারেল সেকেন্ড ডিগ্রী হোমোজেনিয়াস ইকুয়েশন নিয়ে নাড়াচাড়া করেছেন ফার্স্ট ইয়ারেই। এখন প্রশ্ন হল, এই কোনিক সেকশন গুলোর ইকুয়েশন পোলার কোঅর্ডিনেটে কেমন হবে?

উত্তর হলঃ
\begin{eqnarray}
r = \frac{a}{e \cos \theta +1}
\end{eqnarray}
এটাই হচ্ছে যেকোন কোনিকের পোলার ফর্ম যার এক্সেন্ট্রিসিটি $e$. এখান থেকে কিভাবে আমাদের চেনা ফর্মের কোনিকস গুলোতে ফিরে যাব?

ঝটপট বের করে ফেলুন। আমি ততখন দম নিই।