আমি খুব ধীরে ধীরে ফীল্ড থিওরি শিখতে শুরু করেছি। এত চমৎকার সব গ্ল্যামারাস ম্যাথম্যাটিক্স থেকে বর্গমূলের পাঠকেরা বঞ্চিত হবে, তা কিছুতেই মেনে নিতে পারছিনা। কিন্তু একেবারে দড়াম করে জ্ঞানের হাঁড়ি ভেঙে দিলে কেউ পড়েও দেখবেনা। তাই কিছু প্রিরিকুইজিট ঝটপট লিখে ফেলব বলে ঠিক করলাম। আমি একদম গোড়া থেকে শুরু করতে চাই। নবম শ্রেণীর পদার্থবিদ্যা। সঙ্গে কিছু ক্যালকুলাসের জ্ঞানই যথেষ্ট।

আমাদের আজকের সিলেবাস ঠিক করে দিয়েছেন স্বয়ং বিশ্বকবি রবীন্দ্রনাথ ঠাকুরঃ

বল দাও মোরে বল দাও, প্রাণে দাও মোর শকতি

এটা হল একজন নবজাতক ফিজিসিস্টের অন্তর-বাক্য। আমাদের আজকের কাজকর্মও এই বল এবং শক্তি নিয়েই। শুরু করা যাক!

বিধাতা যেভাবে পৃথিবী চালান, তার মধ্যে একটা নিয়ম শ’কয়েক বছর আগে নিউটন বুঝতে পেরেছিলেন। সেটা হল
$$ \mathbf{F} = m\mathbf{a} \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (0) $$
এ এক বিশাল সত্য। আমি ধরে নিচ্ছি, সবার মনে আছে যে বেগ (\(\mathbf{v}\)) হল যেই হারে একটা জিনিসের সরণ (\(\mathbf{s}\)) পরিবর্তিত হয়। এবং ত্বরণ (\(\mathbf{a}\)) হল যেই হারে বেগ পরিবর্তিত হয় (অবশ্যই সময় (\(t\))-এর  স্বাপেক্ষে)। অর্থাৎ,

$$ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{s}}{dt}, \quad \quad  a = \frac{d\mathbf{v}}{dt} \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1) $$

এতটুকু জ্ঞান নিয়েই আমরা বলের উপর বিভিন্ন ভাবে দৃষ্টি নিক্ষেপ করব। প্রথম প্রশ্ন, এই বল জিনিসটা কি অন্যকিছুর উপর নির্ভর করতে পারে? অবশ্যই পারে। একটা চালের বস্তা নিয়ে গুলিস্তান থেকে স্পেসশীপে চড়ে পৃথিবী থেকে খানিকটা দূরে চলে যান, তারপর বস্তাটা ফেলে দিন। সে পৃথিবীর টানে একসময় ঠিকই মাটিতে এসে পড়বে। কিন্তু প্রথমদিকে তার উপর অভিকর্ষ বল কম কাজ করবে, কারন অভিকর্ষ সূত্র অনুযায়ী, \(g\) -এর মান অবশ্যই পৃথিবী থেকে বস্তার দূরত্বের উপর নির্ভর করবে। সুতরাং এই বলটি আসলে দূরত্বের ফাংশন, \(F = F(x)\) (মানে Position dependent force) . আবার বস্তাটি যদি তিরিশতলা বাংলাদেশ ব্যাঙ্কের ছাদ থেকে ফেলা হয়, তাহলে এই সামান্য উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর মানের বলতে গেলে কোনই পরিবর্তন হবেনা। অর্থাৎ এই বল কিছুর উপরেই নির্ভর করবেনা, \(F = F\) (মানে Constant force) । আবার বস্তাটাকে ধরা যাক কক্সেস বাজারে সমুদ্রের ঢেউয়ের নিয়ে যাওয়া হল। সঙ্গে একদল কিচিরমিচির ভাগ্নে-ভাস্তি। তো ক্ষুদেবিজ্ঞানীদের জড় করে বলা হল, তোমাদের কাজ, ঢেউ যেভাবেই আসুক, বস্তাটাকে সৈকতের লেভেলে রাখতে হবে। একমুহুর্তের জন্যও সৈকত বরাবর উচ্চতা থেকে উঠতেও দাওয়া যাবেনা, নামতেও দেওয়া যাবেনা। একটু ভেবে দেখুন,  তাদের সফল হতে হলে যেই বল বস্তার উপর প্রয়োগ করতে হবে, সেটা সময়ের উপর নির্ভর করবে, \(F = F(t)\) (Time dependent force). ঘটনা আরও জটিল হতে পারে। বল বেগের উপরেও নির্ভর করতে পারে। অত সব গল্পে না-ই বা গেলাম। এই দু’এক প্রজাতির বল নিয়েই একটু ভাল করে নাড়াচাড়া করা যাক।

প্রথমে আসছি কন্সট্যান্ট ফোর্সে, যা কোন কিছুর উপরেই নির্ভর করেনা। আপাতত ধরে নিচ্ছি, আমাদের বস্তু বা বস্তাগুলোর গতি একমাত্রায় সীমাবদ্ধ। অর্থাৎ, তারা যাই করুক না কেন, একটা সরলরেখা বরাবর নড়াচড়া করবে। এবং আরও ইম্পর্ট্যান্ট বিষয়ঃ ওগুলো আপাতত কোনভাবেই ঘুরবেনা। রোটেশনাল মোশন পরে কোন গল্পে। প্রথমে ধরা যাক বস্তাটার সরণ শুধু \(x\) অক্ষ বরাবর। তো, কন্সট্যান্ট ফোর্সের কারনে যেই কন্সট্যান্ট ত্বরণটা বস্তার উপর কাজ করবে, সেটার নাম রাখলাম, স্বাভাবিক ভাবেই \(a\). তাহলে এক্ষেত্রে নিউটনের \(F=ma\) খাটালে \(\frac{F}{m}\) অবশ্যই কনস্ট্যান্ট। এবং

$$ \ddot{x} =  \frac{d^2 x}{dt^2}  =  \frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt} \right)  = \frac{dv}{dt}= constant = a \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) $$

ইকুয়েশন(২)’টাকে \(t\)-এর স্বাপেক্ষে একবার ইন্টিগ্রেট করে দ্যখা যাক কী পাওয়া যায়ঃ

\begin{eqnarray} \int \frac{d^2x}{dt^2} dt  &=& \int a \ dt   \nonumber\\
\implies \int \frac{d}{dt} \frac{dx}{dt} dt &=& a \int dt \nonumber \\
\implies \int d\left(\frac{dx}{dt}\right) &=& a\int t \nonumber\\
\implies \int dv &=& a \int dt \nonumber\\
\implies v &=& at + constant \nonumber
\end{eqnarray}

ওপরের সমীকরণের বামদিকটা হল বেগ। তাহলে \(at\) -এর ডাইমেনশনও বেগ। একই ভাবে ঐ কন্সট্যান্টটির ডাইমেনশনও বেগ। চোখ কুঁচকে খানিকখন তাকিয়ে থাকলেই বোঝা যাবে আসলে এই কন্সট্যান্টটিই হচ্ছে \(t=0\) সময়ে বস্তার বেগ। এটার নাম রাখাযাক  আদিবেগ \(u\). সুতরাং
$$ v = u + at \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3) $$
সবার ফিজিক্স জীবনে শেখা গতির প্রথম সূত্র উদ্ধার হয়ে গেল।

এবার ইকুয়েশন(৩)’কে আবারও সময়ের স্বাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করে ফেলব (অর্থাৎ ইকুয়েশন(২)’কে দুইবার সময়ের স্বাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করব):
\begin{eqnarray}
\int v \ dt = \int u \ dt + \int at \ dt \nonumber\\
\int \frac{dx}{dt} dt = u \int dt + a \int t dt \nonumber\\
\int dx = u \int dt + a \int t dt \nonumber\\
x = ut + a \frac{t^2}{2} + constant \nonumber
\end{eqnarray}
আবারও চোখ কুঁচকে তাকানো, এবং আবারও নিশ্চিত অনুধাবন –  ওপরের কন্সট্যান্টটি আসলে আদি-অবস্থান। অর্থাৎ, বস্তাটি ঠিক যেই জায়গা থেকে যাত্রা শুরু করেছিল, মূলবিন্দু থেকে সেই জায়গার দূরত্ব, \(x_০\)। সুতরাং,
$$ x-x_0 = ut + \frac{1}{2}at^2 \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (4) $$

ইকুয়েশন(৩) থেকে সময় \(t = \frac{v-u}{a}\) ‘কে ইকুয়েশন(৪)’এ বসিয়ে দিলেঃ
\begin{eqnarray}
(x-x_0) &=& u \frac{v-u}{a} + \frac{1}{2} a \frac{(v-u)}{a} \frac{(v-u)}{a} \nonumber\\
\implies 2 a (x-x_0) &=& 2u(v-u) + (v-u)^2 \nonumber\\
&=& (v-u) (2u + v-u) = (v-u)(v+u) = v^2-u^2 \nonumber\\
\implies v^2 &=& u^2 + 2 a (x-x_0) \nonumber \\ \nonumber
&& \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (5)
\end{eqnarray}

বাহ! ফিজিক্স-জীবনের প্রথম মাসের সব ইকুয়েশনই আবিষ্কার হয়ে গেল।

সময়ের স্বাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করতে আর ভাল লাগছেনা। এবার অন্য কিছু করা যাক। এবার ইকুয়েশন(০)’কে পজিশন \(x\) -এর স্বাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করব। এবং ইন্ডেফিনিট ইন্টিগ্রালের বদলে এবার একটু ইন্টিগ্রেশনের লিমিট সেট করে দেব। ফোর্স কিন্তু এখনও কন্সট্যান্টই আছে। অর্থাৎ সে কারও উপরই নির্ভর করছেনা। তাহলে,
\begin{eqnarray}
\int_{x_1} ^{x_2} F \ dx = m \int_{x_1}^{x_2} \ddot{x} \ dx
= m \int_{x_1}^{x_2} \frac{d}{dt} \frac{dx}{dt} dx
&=& m \int   d\left( \frac{dx}{dt}  \right) v
= m \int_{v_1}^{v_2} v \ dv = m \left[\frac{v^2}{2} \right]^{v_2}_{v_1} \nonumber\\
\therefore F \times (x_2-x_1) &=& \frac{1}{2} m \left( v_2^2 – v_1^2 \right) \nonumber\\ \nonumber
&& \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (6)
\end{eqnarray}

ইকুয়েশন(৬) এর দুই পক্ষেই নতুন জিনিস পত্র। বহুকাল আগেই এদের আকীকা করা হয়ে গেছে। বামপক্ষের নাম কাজ বা Work, ডানপক্ষের নাম গতিশক্তি বা Kinetic Energy। এগুলো শুধুই নাম। আসলে এরা ম্যাথম্যাটিকাল কোয়ান্টিটি, যাদের ফিজিকাল ইন্টারপ্রেটেশন আমাদের নিজেদের কাছে। আমরা ওপরের এই লাইনটিকে যুগযুগ ধরে ইন্টারপ্রেট করে নিয়েছি এভাবেঃ

\(x = x_1\) থেকে \(x = x_2\) পজিশনে যেতে আমাদের বস্তাটিকে যে কাজ করতে হয়, সেই কাজের পরিমাণটা হচ্ছে \(x = x_1\) পজিশনে বস্তার গতিশক্তি আর \(x = x_2\) পজিশনে বস্তার গতিশক্তির ডিফারেন্স।

উপরের বাক্যটা আসলে একটা থিওরেম। লোকে “ওয়ার্ক-এনার্জি থিওরেম” নামে ডাকে। এই বাক্য পজিশন ডিপেন্ডেন্ট ফোর্সের জন্যও ঠিকঠাক কাজ করবে। সেদিকে একটু পরে যাব। তার আগে আরেকটা কোয়ান্টিটি খুঁজেবার করতে চাই, যেটার নাম রাখব স্থিতিশক্তি বা Potential Energy. ধরাযাক, আমাদের বস্তাটিকে গণিত ভবনের ছাদথেকে ফেলে দেওয়া হল। স্বাভাবিকভাবেই মাটি থেকে এই ছোট্ট উচ্চতায় \(g\)-এর কোন তারতম্য হবেনা, বল থাকবে ধ্রুব। এবং দূরত্বগুলো \(x\) এর বদলে \(z\) দিয়ে প্রকাশ করব। তাহলে \(F = ma \) দাঁড়াবে
$$ F_z = \ – m g \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (7) $$

আমাদের ইকুয়েশন(৭)-এর ডানদিকে মাইনাস সাইনটার কারন হল, আমরা তো অরিজিন চিন্তা করেছি মাটিতে; তাই \(z\)-অক্ষের পজিটিভ দিকটা হল মাটি থেকে আকাশের দিকে। বস্তা যেহেতু আকাশ থেকে মাটিতে পড়ছে, তাই এই উল্টোদিকের কারনে স্বভাবতই মাইনাস। ধরা যাক বস্তাটি \(z_1\) থেকে \(z_2\) অবস্থানে এসেছে। তাহলে সে কতখানি কাজ করল? ফোর্সকে ইন্টিগ্রেট করে দেখি কী পাওয়া যায়ঃ
\begin{eqnarray}
\int_{z_1}^{z_2} F_z \ dz = \int_{z_1}^{z_2} -mg \ dz \nonumber\\
F_z \times (z_2-z_1) = -mg(z_2 – z_1) \nonumber\\ \nonumber
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (8)
\end{eqnarray}

কিন্তু একটু আগেই ওয়ার্ক-এনার্জি থিওরেম আবিষ্কার করেছি। সেটাকে আমাদের বস্তার উপর এ্যাপ্লাই করলে দাঁড়াবে,
$$ F_z \times (z_2 – z_1) = \frac{1}{2} m (v_{z_2}^2 – v_{z_1}^2) \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (9) $$

এখানে \(v_{z_1}\) দেখে ভড়কে যাওয়ার কিছুই নেই। এটা শুধুই \(z_1\) অবস্থানে বস্তাটির বেগ। ইকুয়েশন(৮) আর (৯) মিলিয়ে দিয়ে একটু অদলবদল করলেই যেটা পাওয়া যাবে, সেটা হলঃ
$$ \frac{1}{2} m v_{z_1}^2 + mg z_1 = \frac{1}{2} m v_{z_2}^2 + mg z_2 \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (10) $$

আবারও আকীকা। \(mgz_1\)-এর নাম রাখা যাক \(z_1\) পজিশনে বস্তার স্থিতিশক্তি। \(mgz_2\)-ও একই ভাবে \(z_2\) পজিশনে স্থিতিশক্তি। আমরা ছোটবেলা থেকে শিখে এসেছি, যদি \(a, b\) দুটো কোয়ান্টিটিকে \(a_1b_1 = a_2b_2 = \ldots = a_nb_n\)-এভাবে লেখা যায়, তাহলে \(ab\) রাশিটা ধ্রুবক। ১০-নম্বর ইকুয়েশনের ঘটনাও একই। তাকিয়েই বলে দিতে পারি,
$$\frac{1}{2} m v_{z}^2 + mgz \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $$

-রাশিটা একটা ধ্রুবক। ওপরের রাশিটার নাম রাখা হয়েছে যান্ত্রিকশক্তি বা ইংরেজীতে Mechanical Energy. এটা, বাই ডেফিনিশন, গতিশক্তি আর স্থিতিশক্তির সমষ্টি। মেক্যানিকাল এনার্জির এই ধ্রুব থাকার ব্যাপারটাই হচ্ছে আমাদের ছোট বেলায় শেখা শক্তির নিত্যতার সূত্র (Conservation of mechanical energy)।

আমাদের বল যদি সময় বা বেগ – এসবের উপর নির্ভর না করে, অর্থাৎ বল যদি হয় \(F\) বা \(F(x)\), তাহলে মেক্যানিকাল এনার্জির এই ধ্রুব থাকার ব্যাপারটা খুব ভালভাবে খেটে যাবে।

কন্সট্যান্ট ফোর্স নিয়ে অনেক গল্প হল। আজ থামা যাক। স্কুলের ফিজিক্স পড়া হচ্ছে, বাড়ির কাজ না দিলে কেমন হয়? কন্সট্যান্ট ফোর্সকে সময়ের স্বাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করলে কী পাওয়া যাবে সেটা বের করাই তাহলে বাড়ির কাজ থাকুক?

আপাতত থামছি। পরের পোস্টের আড্ডা জমবে পজিশন ডিপেন্ডেন্ট ফোর্স \(F(x)\) এর গল্পে।

কাপ ভর্তি কফি নিয়ে চলে আসবেন!
: -)

.

Author: Galib Hassan

Mischief Managed.. 😉