লিনিয়ার ইন্ডিপেন্ডেন্সের নিরীহ ইকুয়েশন এবং নাল-ভেক্টর

এই ছোট্ট পোস্টটি আমাদের সেই ছোট্ট বন্ধুদের জন্য, যারা লিনিয়ার এ্যালজ্যাব্রা কোর্সে লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেট অফ ভেক্টরস শব্দগুচ্ছটির সাথে প্রথমবারের মত কুশল বিনিময় করেছে, এবং ফরমাল একটা মাকড়সাহাসি ঠোঁটে ধারন করে নিচের কথাটা মেনে নিয়েছেঃ

The vectors $\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$ are linearly independent if the following equation only has the trivial solution for all $c_i$’s. $$ c_1 v_1 + c_2 v_2 + \ldots + c_n v_n = 0 .$$

মানে কী? সরাসরি তর্জমা করলে কী দাঁড়ায় দ্যাখা যাকঃ

$\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$ -এই দিকরাশি সমূহ রৈখিকভাবে স্বাধীন হইবে যদি সকল $c_i$-এর জন্য নিম্নলিখিত সমীকরনের তুচ্ছ সমাধান থাকেঃ

$$ c_1 v_1 + c_2 v_2 + \ldots + c_n v_n = 0 \quad$$

$$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1) $$

যারা বুঝে গ্যাছে, তারা বাড়ি যাও। আর যারা বোঝেনি, তারা ভুলে যাও। “তুমি” সম্বধন চলে এলো। বুড়োথুড়ো হয়ে যাওয়ার প্রমাণ 🙁 । যাহোক, কথা হল, এই নিরীহ ইকুয়েশন(১) আমাকে বহুদিন বেশ যন্ত্রনা দিয়েছে। সব কোইফিশিয়েন্ট $ c_1, c_2, c_3, \ldots $ দলবেঁধে শুন্য হবে। তবেই $v_1, v_2, \ldots $ দের সেটকে লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট ভেক্টরের সেটের খাতায় নাম লেখানো যাবে! সে আবার কেমন ভজঘট কথা?

ব্যাপারটা আসলে খুবই সহজ। কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনিটের ভাষায় গল্পটা বললেই সব পরিষ্কার হয়ে যাবে।

উপরের ছবিতে একটা বিন্দু দ্যাখা যাচ্ছে, $(10,20,40)$. এটা $\mathbb{R}^3$-এর অসংখ্য বিন্দুর মধ্যে (বা ইলিমেন্টের মধ্যে) একটা বিন্দু (বা একটা ইলিমেন্ট)। আমরা জানি, বেসিস সেটের ইলিমেন্ট গুলো অবশ্যই লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট হয়। এবং বেসিস সেটে যে কয়টা ভেক্টর থাকে, সেটাই ঐ ভেক্টরস্পেসের ডাইমেনশন। আমাদের ছবির গল্পে $\mathbb{R}^3$-এর বেসিস সেটা টা হলঃ $ \{ \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\} $. বোঝাই যাচ্ছে, তিনটা বেসিস-ভেক্টর থাকার কারনে $\mathbb{R}^3$-এর ডাইমেনশন তিন, এবং সাধারন মানুষের জগত তাই ত্রিমাত্রিক। কেন এই $ \{ \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \}$ সেটটাকে বেসিস বলা হয়? কারন এই সেটের ভেক্টর গুলির লিনিয়ার কম্বিনেশন দিয়ে $\mathbb{R}^3$-এর যেকোন ভেক্টরকে জেনারেট করা যায়। যেমন $A$ ভেক্টরটি লিখতে হলে আমরা লিখি, $$ A = 10 \hat{i} + 20 \hat{j} + 40 \hat{k}, $$ যা $ \{ \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\} $ সেটের ভেক্টর গুলির একটি লিনিয়ার কম্বিনেশন।

তাহলে অরিজিন $(0,0,0)$’তে যেই ভেক্টরটি আছে (ধরা যাক তার নাম $O$), সেটাকেও $ \{ \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\} $ সেটের ভেক্টর গুলোর লিনিয়ার কম্বিনেশন আকারে প্রকাশ করা যাবে নিশ্চয়ইঃ

$$ O = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k} \\ 0 = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 \quad$$

ইকুয়েশন(১)-এর সাথে এখন কি একটু মিল দ্যাখা যাচ্ছে যদি $c_1 = 0, c_2 = 0, c_3=0 $ এবং $ v_1 = \hat{i}, v_2 = \hat{j}, v_3 = \hat{k} $ বসিয়ে দেই?

আমি ছোটবেলায় যেটা বুঝতামনা সেটা হল, ইকুয়েশন(১)-এর ডানপক্ষের $0$ টা স্কেলার নয়। ওটা আসলে ঐ অরিজিনে ঘাপটি মেরে বসে থাকা ভেক্টর $O$. এটাকে নাল-ভেক্টর নামেও ডাকা হয়। কারন এই ভেক্টরের নর্ম বা মান শূন্য।

এখন সবচে’ গুরুত্বপূর্ন প্রশ্নঃ কেন $ \{ \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\} $ ভেক্টরগুলো লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট? কারন, আমরা যদি নাল-ভেক্টর $O$’কে $\{ \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\} $ -এর মাধ্যমে ইকুয়েশন(১) এর মত করে প্রকাশ করতে চাই, অর্থাৎ যদি লিখতে চাইঃ

$$ c_1 \hat{i} + c_2 \hat{j} +c_3 \hat{k} = O$$

তাহলে $c_1, c_2, c_3 $ কোইফিশিয়েন্ট গুলোকে দলবেঁধে শূণ্য হতেই হবে। এই হল ঐ নিরীহ ইকুয়েশনের মানে। অর্থাৎ, আমরা যদি কিছু লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট ভেক্টর $\{ v_1, v_2, \ldots, v_n \}$ নেই, এবং তাদেরকে বেসিস ভেক্টর মেনে যতরকম লিনিয়ার কম্বিনেশন হতে পারে, সবগুলোর সমন্বয়ে একটা ভেক্টরস্পেস ফর্ম করি, এবং তারপর সেই ভেক্টরস্পেসের নাল ভেক্টরটাকে $v_i$’এর লিনিয়ার কম্বিনেশন আকারে লিখতে চাই, তাহলে, কোইফিশিএন্ট গুলোর সবার জন্য কেবল মাত্র একটা ভ্যালুই বরাদ্দ হবে। সেটা হল, 0. এই হচ্ছে সেই Trivial solution.

শুভ নববর্ষ।

: -)