On Solutions of Riccati, Bernoulli and Linear Differential Equations

যাদের শুধু শেখার ইচ্ছা, তারা মার্জিনের নিচ থেকে পড়া শুরু করুন।

আজকাল কোন কাজ না থাকায়, কেউ “নেই কাজ তো খই ভাজ” বলার আগেই www.Quora.com এ ঢুকে গেলাম। এই ওয়েবসাইট এর সন্ধান পেয়েছিলাম ২ বছর আগে। তখন কলেজে ভালো রেজাল্ট হচ্ছে, চাকরি করছি, এগুলোতে থাকার সময় কোথায়। এখন কলেজ এবং চাকরি দুটোই বন্ধ রাখব কয়েকদিন, এখনি তো অঙ্ক শেখার মজাটা, রাত ৪টা পর্যন্ত হোমওয়ার্ক করতে হয় না। অনেক কিছু শেখা বাকি আমার। কালকে রাতে একটা রিকুয়েস্ট পেলাম। ফ্রেন্ড রিকুয়েস্ট না, অঙ্ক করে দেয়ার রিকুয়েস্ট। দেখলাম,চেস্টা করলাম পারলাম না। গাধা তো তাই।

WolframAlpha তে প্রশ্নটা দিলাম, কিন্তু Solve কমান্ডটা দিলাম না, আমি আসলে কম্পিউটার দিয়ে অঙ্ক করতে চাই না, মন টানে না। দেখলাম বলে দিলো এটা একটা Riccati Differential Equation। তখনও তো সমস্যা, আমি তো জানি না কিভাবে এটা সল্ভ করে। ছেলেটাকে না বলতে ইচ্ছা করছিল না। ঘুমাতে যাওয়ার আগে শেষ একটা উত্তর নাহয় দিয়েই গেলাম। দেখলাম এটা সল্ভ করার নিয়ম। বই দেখলাম না, শুধু একটা Algorithm দেখলাম। বই অনেক পড়লাম, কিন্তু দুনিয়াতে অনেক বই আছে, সবগুলোর মধ্যে আলাদা আলাদা নিয়মে একই জিনিস করে দেয়া। আরো কত যে পড়তে হবে, আজকাল বই পড়তে গেলে খুব আলসে লাগে, বুড়ো হয়ে যাচ্ছি সম্ভবত Paa এর মতন।

________________________________________________________________________________________

অনেক কিছু লিখলাম, যার কোনটাই কাজে লাগবে না। এখন দেখব Differential Equation গুলো

First Order Linear Differential Equation

$\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

Bernoulli Differential Equation

$\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$ where $Q(x)\neq0$

Riccati Differential Equation

$\dfrac{dy}{dx}=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)$ where $P(x)\neq 0, R(x)\neq0$

অনেকে হয়তো এটা জিজ্ঞেস করে বসতে পারে $R(x)$ কেন নন জিরো নিচ্ছি। এই সমীকরণের ফরম্যাট টা হচ্ছে ডানদিকে Dependent Variable এর একটা Quadratic Polynomial থাকতে হবে। সুতরাং $P(x)$ এর সাথে $Q(x)$ অথবা $R(x)$ একটা না একটা থাকতেই হবে। $\dfrac{dy}{dx}$ লিখলে স্বাভাবিক ভাবেই মনে হবে যে $x$ হচ্ছে independent variable এবং $y$ হচ্ছে dependent variable।

যদি Riccati Differential Equation টার সমাধান করতে যাই তাহলে উপরের দুটোর সমাধানের প্রক্রিয়াই কাজে লাগবে। এছাড়া আর একটা জিনিস লাগবে, একটা Particular Solution ছাড়া Riccati Differential Equation এর ক্লাসিক্যাল সল্যুশন করা যায় না। একটু দেখে নেই…

$\dfrac{dy}{dx}=x+y^2$

ধরি $y=y_1+u$

$\implies \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy_1}{dx}+\dfrac{du}{dx}$

সবকিছু এখন আসল সমীকরণে বসাই

$\dfrac{dy_1}{dx}+\dfrac{du}{dx}=x+(y_1+u)^2$

$\implies \dfrac{dy_1}{dx}+\dfrac{du}{dx}=x+y_{1}^{2}+2y_1u+u^2$

$\implies \dfrac{dy_1}{dx}+\dfrac{du}{dx}=(x+y_{1}^{2})+2y_1u+u^2$

লক্ষ্য কর যে যদি $\dfrac{dy}{dx}=x+y^2$ হয়

তাহলে $\dfrac{dy_1}{dx}=x+y_{1}^{2}$

এখন তাহলে সমীকরণের চেহারাটা হবে এরকম

$\dfrac{du}{dx}=2y_1u+u^2$

$\implies \dfrac{du}{dx}-2y_1u=u^2$

$\implies \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx}-\dfrac{2y_1}{u}=1$

এখন এটা আমাদের চেনা Bernoulli Differential Equation

ধরি $w=\dfrac{1}{u}\implies \dfrac{dw}{dx}=-\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx}$

এখন এগুলো সব আগের Bernoulli Differential Equation এ বসাবো।

$-\dfrac{dw}{dx}-2y_1w=1$

$\implies \dfrac{dw}{dx}+2y_1w=-1$

এটা তো First Order Linear Differential Equation কিন্তু এখানে আমরা আটকে যাচ্ছি, দেখতে পাচ্ছেন তো? আমাদের $y_1(x)$ জানা নেই, তাহলেই অঙ্কটা করা যাবে।

আমি পুরো নিয়মটাই দেখলাম, কারন আমি এখনও এটা সরাসরি লিখতে শিখি নি, কালকে রাতে ৫ মিনিট দেখে যে এটুকু করেছি এটা তো খারাপ না, আগে তো এমন সমীকরণ কোনদিন মিলিয়ে দেখতে পারি নি, এখন দেখছি কাল রাত থেকে এখন পর্যন্ত যা যা করেছি সবই ঠিক, দরকার শুধু Particular Solution টা, তাহলেই সমাধান শেষ করা যাবে।

একটা ভালো অঙ্ক খুজে পেলাম, ঘাটতে ঘাটতে, সেটাই নাহয় একটু করি…

________________________________________________________________________________________

Solve the differential equation $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x}y+y^2; y_1(x)=\dfrac{2}{x}$

এখানে যদি $y=y_1+u$ বসাই তাহলে সমীকরণটা এরকম হয়ে যাবে…

$\dfrac{du}{dx}=\left(-\dfrac{1}{x}+2y_1\right)u+u^2$

$\implies \dfrac{du}{dx}=\left(-\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x}\right)u+u^2$

$\implies \dfrac{du}{dx}=\dfrac{3u}{x}+u^2$

ধরি $w=\dfrac{1}{u}\implies \dfrac{dw}{dx}=-\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx}$

তাহলে সমীকরণ টা পালটে গিয়ে এখন এরকম হবে…

$-\dfrac{dw}{dx}-\dfrac{3w}{x}=1$

$\implies \dfrac{dw}{dx}+\dfrac{3w}{x}=-1$

Integrating Factor: $e^\int{\frac{3}{x}dx}=e^{3\ln x}=e^{\ln x^3}=x^3$

Multiplying with the integrating factor gives

$d[wx^3]=-x^3\, dx$

Integrating both sides gives

$wx^3=-\dfrac{x^4}{4}+C$

$\implies w=-\dfrac{x}{4}+Cx^{-3}$

$\implies u=\dfrac{1}{-\dfrac{x}{4}+Cx^{-3}}$

$\implies u=\dfrac{4x^3}{4C-x^4}$

এখন শুধু আমাদের সল্যুশন এ বসাবো, করেই তো রেখেছি $y=y_1+u$

$y=\dfrac{2}{x}+\dfrac{4x^3}{4C-x^4}$

এটা নিয়ে কয়েক দিন পড়ে থাকবো, ভালোই লাগছে অঙ্কগুলো করতে, পড়াশুনা করে দেখছি এই জিনিসটা কি কি কাজে লাগে আজকাল। খারাপ লাগছে না, লাগলেই ছেড়ে দিবো। এই লেখা পড়ে কারো যদি একটুও উপকার হয় তাহলে ভালো লাগবে।

________________________________________________________________________________________