রামানুজন – Nested Radical এর মান নির্ণয়

গণিতের মহারথী শ্রীনিবাসা রামানুজন আয়েঙ্গার, যিনি অঙ্কের মাথামুণ্ডু কিচ্ছু জানতেন না, যাকে Magic Mathematician বা The Man Who Knew Infinity হিসাবে আখ্যায়িত করা হয়, যিনি মাত্র ৩৮ বছরের জীবনকালে আমাদের জন্য গণিতের এতো এতো ফলাফল রেখে গেছেন, তারই একটা হচ্ছে এই নেস্টেড র‍্যাডিক্যাল রেজাল্ট। তার জীবনী সবারই জানা আছে, সেদিকে না গিয়ে তার প্রথম Publication এর প্রমানটা দেখব। সবাই জানে এটা ১৯১৩ সালে একটা Journal of Indian Mathematical Society তে  বেরিয়েছিল।

তিনি তার প্রথম লেখার জন্য শুধু একটা অঙ্কই করেছিলেন এবং ভালই সারা পেয়েছিলেন। অঙ্কের প্রমানটা একটু দেখি…

Q. Prove that $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{}…}}}}=3$

We know that
$(n+1)^2=n^2+2n+1 $
$\implies (n+1)^2=n(n+2)+1$

Notice that putting $n=1$ yields….
$ 2^2=1(1+2)+1 \implies 2^2=4 $

২ এর বর্গ যে ৪, এটা তো জানি, তাহলে উনি আবার কি প্রমান করলেন? দেখতে থাকো

Putting $n=2$
$3^2=2(4)+1………[*]$

Putting $n=3$
$4^2=3(5)+1$

Putting $n=4$
$5^2=4(6)+1$

Putting $n=5$
$6^2=5(7)+1$

Substituting all the results found so far into [*]
$3=\sqrt{2(4)+1}$
$\implies 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3(5)}}$
$\implies 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4(6)}}}$
$\implies 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{}….}}}}$

[Proved]

এখন জিজ্ঞেস করতে পারো যে উনি ৩ নিয়ে মেতে উঠলেন কেন, অন্য কিছু কি করা যেতো না? হ্যা সেটাও করা যেতো, কিন্তু দেখতে পাচ্ছো কি যে এখানে তিনই হচ্ছে সর্বনিম্ন সংখ্যা যার মান নির্ণয় এভাবে করা যায়? একটু চিন্তা করলেই ধরা যায়। আমরা এখানে একটা Recursive সিকুয়েন্স পাচ্ছি এবং এজন্যই এটা সম্ভব হচ্ছে, এরচেয়ে সহজ ব্যাখ্যা তো আর হয় না। যাই করি না কেন, ধাক্কাধাক্কি করতে করতে এটা ৩ এই নেমে যাবে। আর দেখতেই পাচ্ছ প্রমানটা কিভাবে করলাম, একটু চিন্তাশক্তির প্রয়োগ করে শুধুমাত্র স্কুল লেভেল এর বীজগণিত দিয়ে কতো সুন্দর একটা Approximation পাওয়া যায়? এটা কিন্তু আসলে Approximation না, একদম ঠিক ঠিক মান টা পাওয়া যাবে যদি ইনফাইনাইট সিরিজ হিসাবে মান নির্ণয় করা হয়।

বড় লেখা দিয়ে লাভ নাই, বড় উপপাদ্য লিখেও  লাভ নাই, তিতাস পাবলিকেশন এর না হলে কেউ পড়েও দেখবে না, আধুনিক যুগ তো, আর ঢাকার পোলারা তো স্মার্ট হয়। আমি ঢাকাইয়া, তাই ধাক্কাইয়া দেখি এই ছোটখাটো লেখা কতটা সারা পায়।

শেষ করব আমার জানা খুব প্রিয় একটা Quote দিয়ে

Knowledge is limited, imagination and creativity encircles the world – Albert Einstein

উৎসঃ My answer to the nested radical problem

Awnon Bhowmik
Author: Awnon Bhowmik

I know very little to be proud about it. Mathematics enthusiast, possess a lust for mathematical/computational knowledge

Permanent link to this article: https://www.borgomul.com/awnon/4298/


মন্তব্য করুন আপনার ফেসবুক প্রোফাইল ব্যবহার করে

2 comments

  1. এতোদিন পরে লিখব আর এর মধ্যে প্রথম কমেন্ট পড়বে গালিব ভাইয়ের এটা চিন্তাও করি নি। ধন্যবাদ ভাই। আমাকে ফেসবুকে পাবেন না, ছেড়ে দিয়েছি। এখন অন্য সাইটগুলোতে থাকি, সারাদিন অঙ্ক করতে থাকি, যদি নতুন কিছু শিখতে পারি, বিজ্ঞান তো আমাকে দিয়ে হলো না, দেখি অঙ্ক করতে শিখতে পারি কি না।

    1. ফেসবুক তেমন কাজের জায়গা না । সাধনা চালিয়ে যাও আর এমন আরও লেখা চাই !

মন্তব্য করুন