Homomorphism এবং Isomorphism

Homomorphism এবং isomorphism, খুবই জটিল তবে খুবই গুরুত্বপূর্ণ দুটা জিনিস। লিনিয়ার এবং অ্যাবস্ট্রাক্ট অ্যালজেব্রা দুটোতেই কাজে লাগে। গ্রুপ পড়ার একটু পরেই এটা নিয়ে পড়তে হয়। খুব সহজ, আজকে কিছু মজার দিক দেখব, আস্তে আস্তে ধারনা গুলো পরিষ্কার করার চেষ্টা করব। তার আগে একটা জিনিস বলে দেই, আগেরটায় হয়ত লেখা হয়নি।

Abelion Group

A group <G,*> is called an abelion group if for any two elements a and b in G, we have a*b = b*a

Examples of abelion group are:

<Z,+> = group of integers under binary operation addition [Addition of integers is commutative]

<R,+> = group of real numbers under binary operation addition [Real addition is commutative]

<Q*,+>= group of rational numbers (except 0) under addition.

[Note that: <Z,->,<R,-> and <Q,-> are groups but non – abelion.]

Homomorphism কাকে বলে?

এটাকে সহজ ভাষায় বলা যায় structure preserving map, যার মানে দাড়ায় ২ টা জিনিস দেখতে আকৃতির দিক থেকে একই রকম। এই উদাহরনটা দেখ, এখনি বুঝে যাবে…

Sample Order 2 Group

(*)	e	a
e	e	a
a	a	e

Simple Integer group <Z₂,+>, order 2

(*)	0	1
0	0	1
1	1	0

[যাদের বুঝতে সমস্যা হচ্ছে কেন ১+১=০ তাদের বলে দেই অপারেশনটা আসলে হচ্ছে (a+b)mod 2। তাহলে (১+১)mod ২=০ ই তো হওয়ার কথা।]

আসল কথা হল, কেউ কি দেখতে পাচ্ছেন আমরা যদি e এর যায়গায় 0 বসাই আর a এর জায়গায় 1 বসাই তাহলে গ্রুপের টেবিল টা দেখতে একই রকম হবে। এটাকেই বলা হয় Homomorphism।

এবার আসি isomorphism এ। ভবিষ্যতে homomorphism নিয়ে আরও লিখতে হবে, আপাতত isomorphism নিয়ে কথা বলব।

Isomorphism কাকে বলে?

একই জিনিস, কিন্তু কোথায় ধরা খেলাম? Bijective কথাটায়। ফাংশনটা one to one এবং onto হতে হবে। Homomorphism প্রমান করা অনেক সহজ কিন্তু Isomorphism এতো সোজা নয়। কারণ এখানে কয়েকটা বাধা আছে, সেগুলো পার করতে হবে। একটু দেখে নেই।

Steps for proving/disproving isomorphism

Prove that the function is one – to – one, take two equal function values and prove that they are produced by the same input.
Prove that the function is onto. We can prove this by carefully checking the domain and range of the function and coming to a fairly valid conclusion.
Prove that the homomorphism property holds. [Remember * and “ means two distinct operations. They might be same too, but usually they are different.]

[Note: During an isomorphism, function of the identity from first group is carried over as the identity of the second group]

Things that violate isomorphism properties

Cardinality of S ≠ Cardinality of S

Commutativity is not shared between S and S
Associativity is not shared between S and S


Identity is not shared

S->S’, এখানে S এর Identity যদি e হয় তাহলে S এর identity হবে j(e)=e


Check whether the function  is an isomorphism from

<Q,+> to <Z,+>
<Z⁺,×> to <Z⁺,+>
<M₂(R),×> to <Z⁺,×>

 
<Q,+> to <Z,+>
It is easy to see that if ,
Suppose , or  but 
Onto property fails, hence <Q,+> is not isomorphic to <Z,+>
 
<Z⁺,×> to <Z⁺,+>
In <Z⁺,×>, the multiplicative identity for integers is 1, and additive identity for integers is 0. Problem is . Existence of identity fails, hence <Z⁺,×> is not isomorphic to <Z⁺,+>
 
<M₂(R),×> to <Z⁺,×>
Here we are checking for isomorphism from all 2×2 matrices with real coefficients under multiplication to all the positive integers with multiplication. We know that matrix multiplicative is not commutative. Hence <M₂(R),×> is not isomorphic to <Z⁺,×>

Problem: Prove that if is an isomorphism from <S,*> to <S,*> and is another isomorphism from <S,*> to <S,*> then is an isomorphism from <S,*> to <S,*>.


Proof:
One to one
Let  and suppose that, 
Then 

But since  is a bijection, hence a = b [Taking inverse function of both sides].
 
Onto
Let . Because  maps  there exists an  such that . Again, because  maps  there must exist an  such that .
 
Now, 
 
This shows that  maps .
 
Homomorphism:
Let , then

Hence is an isomorphism from <S,*> to <S,*>. Symbolically

[Notice that we have used different operators *,*,* while making a breakdown in the composition of the function, this is because we are not sure whether the same operation would provide equality or not, so its better to use different operators to generalize the case.]

বাড়ির কাজ হিসাবে এগুলো প্রমান করে দেখতে পারো…

Check whether the following functions are isomorphism

<Z,+> to <Z,+>, $\phi(n)=-n, n\epsilon Z$
<Z,+> to <Z,+>, $\phi(n)=n+1, n\epsilon Z$
<Q,+> to <Q,+>, $\phi(n)=n^2 \hspace{2mm} \forall n\epsilon Q$
<R,x> to <R,x>, x means multiplication here
<R,+> to <R, x>, $\phi(n)=(0.5)^n$
[*] Show that the binary structure <R,+> with the operation usual addition is isomorphic to the binary structure <R, x> where x is the usual multiplication. [Hint: Think about how to choose a function that converts an addition into multiplication. It is not tough to find one, you might just guess it]

আমি জানি এখানে অনেক বেশি ইংরেজি লেখা হয়ে গেছে কিন্তু আমরা তো ইংরেজিতেই পড়ছি। লক্ষ্য করুন যে যে জায়গাটা বোঝা জরুরী সেটা তো আমি বাংলাতেই লিখে দিয়েছি। এগুলো করার পরে যদি সমস্যা হয় তাহলে কমেন্ট বক্সে লিখলেই আমি উত্তর দেয়ার চেষ্টা করব। কোন ভুল পেলেও দয়া করে কমেন্ট করবেন। ধন্যবাদ সবাইকে। পরের বার আরো অনেককিছু নিয়ে আসব মজার। অনেক কিছু শেখা বাকি, তবে অবশ্যই সহজভাবে।